Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: ${{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+2\left( {{m}^{2}}+6m \right)x-8=0$
A. $m=-1$ hoặc $m=7$.
B. $m=1$ hoặc $m=-7$.
C. $m=1$.
D. $m=-7$.
A. $m=-1$ hoặc $m=7$.
B. $m=1$ hoặc $m=-7$.
C. $m=1$.
D. $m=-7$.
Điều kiện cần: Do phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân, lại theo định lý Vi-et cho phương trình bậc ba nên ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{matrix}
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=7 \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}=2\left( {{m}^{2}}+6m \right) \\
{{x}_{1}}{{x}_{3}}=x_{2}^{2}, {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=8 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=7 \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}=2\left( {{m}^{2}}+6m \right) \\
{{x}_{2}}^{3}=8 \\
\end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}_{1}}+{{x}_{3}}=5 \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}=2\left( {{m}^{2}}+6m \right) \\
{{x}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right.$
Thế $x=2$ vào phương trình ban đầu ta được $8-28+4({{m}^{2}}+6m)-8=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-7 \\
\end{aligned} \right.$
Điều kiện đủ:
-TH1: Với $m=1$ thay vào ta được phương trình: ${{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+14x-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}_{1}}=1 \\
{{x}_{2}}=2 \\
{{x}_{3}}=4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra với $m=1$ thì phương trình có 3 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành cấp số nhân.
- TH2: Với $m=-7$ thay vào ta được phương trình: ${{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+82x-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}_{1}}\simeq -6,14 \\
{{x}_{2}}\simeq -0,09 \\
{{x}_{3}}\simeq 13,2 \\
\end{matrix} \right.$
Ta thấy ${{x}_{1}}{{x}_{3}}<0$ nên phương trình không thể có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân.
Vậy $m=1$ thỏa mãn.
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=7 \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}=2\left( {{m}^{2}}+6m \right) \\
{{x}_{1}}{{x}_{3}}=x_{2}^{2}, {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=8 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=7 \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}=2\left( {{m}^{2}}+6m \right) \\
{{x}_{2}}^{3}=8 \\
\end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}_{1}}+{{x}_{3}}=5 \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}=2\left( {{m}^{2}}+6m \right) \\
{{x}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right.$
Thế $x=2$ vào phương trình ban đầu ta được $8-28+4({{m}^{2}}+6m)-8=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-7 \\
\end{aligned} \right.$
Điều kiện đủ:
-TH1: Với $m=1$ thay vào ta được phương trình: ${{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+14x-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}_{1}}=1 \\
{{x}_{2}}=2 \\
{{x}_{3}}=4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra với $m=1$ thì phương trình có 3 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành cấp số nhân.
- TH2: Với $m=-7$ thay vào ta được phương trình: ${{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+82x-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}_{1}}\simeq -6,14 \\
{{x}_{2}}\simeq -0,09 \\
{{x}_{3}}\simeq 13,2 \\
\end{matrix} \right.$
Ta thấy ${{x}_{1}}{{x}_{3}}<0$ nên phương trình không thể có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân.
Vậy $m=1$ thỏa mãn.
Đáp án C.