Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\ln (m+\ln (m+x))=x$ có nhiều nghiệm nhất.
A. $m>1$.
B. $m\ge -1$.
C. $m<e$.
D. $m\ge 0$.
A. $m>1$.
B. $m\ge -1$.
C. $m<e$.
D. $m\ge 0$.
Đặt ${t=\ln (m+x) \Rightarrow m+x=e^t}$ (1)
Khi đó phương trình ${\ln (m+\ln (m+x))=x}$ trở thành ${\ln (m+t)=x \Leftrightarrow m+t=e^x(2)}$
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: ${x-t=e^t-e^x \Leftrightarrow x+e^x=t+e^t}$ ${(*)}$
Xét hàm số ${g(u)=u+e^u, u \in l}$
Ta có ${g\prime (u)=1+e^u>0 \forall u \in ?}$ do đó hàm số ${g(u)=u+e^u}$ đồng biến trên
Do đó phương trình ${(*) \Leftrightarrow g(x)=g(t) \Leftrightarrow x=t}$
Thay ${x=t}$ vào phương trình (1) ta được: ${m+x=e^x \Leftrightarrow m=e^x-x}$
Xét hàm số ${f(x)=e^x-x, x \in \mathbb{R} \Rightarrow f\prime (x)=e^x-1}$
${f\prime (x)=0 \Leftrightarrow e^x=1 \Leftrightarrow x=0}$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình ${m=f(x)}$ có nhiều nghiệm nhất khi ${m>1}$
Khi đó phương trình ${\ln (m+\ln (m+x))=x}$ trở thành ${\ln (m+t)=x \Leftrightarrow m+t=e^x(2)}$
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: ${x-t=e^t-e^x \Leftrightarrow x+e^x=t+e^t}$ ${(*)}$
Xét hàm số ${g(u)=u+e^u, u \in l}$
Ta có ${g\prime (u)=1+e^u>0 \forall u \in ?}$ do đó hàm số ${g(u)=u+e^u}$ đồng biến trên
Do đó phương trình ${(*) \Leftrightarrow g(x)=g(t) \Leftrightarrow x=t}$
Thay ${x=t}$ vào phương trình (1) ta được: ${m+x=e^x \Leftrightarrow m=e^x-x}$
Xét hàm số ${f(x)=e^x-x, x \in \mathbb{R} \Rightarrow f\prime (x)=e^x-1}$
${f\prime (x)=0 \Leftrightarrow e^x=1 \Leftrightarrow x=0}$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình ${m=f(x)}$ có nhiều nghiệm nhất khi ${m>1}$
Đáp án A.