Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{4}^{x}}-\left( m+2 \right){{2}^{x+1}}+3m-5=0$ có hai nghiệm trái dấu.

Phương pháp:
- Đặt $t={{2}^{x}}>0.$ Đưa về phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm trái dấu thì phương trình bậc hai ẩn $t$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ${{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}.$
- Áp dụng định lí Vi-ét.
Cách giải:
Đặt $t={{2}^{x}}>0,$ phương trình trở thành ${{t}^{2}}-2\left( m+2 \right)t+3m-5=0\left( * \right).$
Giả sử phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt trái dấu ${{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}\Rightarrow {{\log }_{2}}{{t}_{1}}<0<{{\log }_{2}}{{t}_{2}}\Leftrightarrow {{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}.$
$\Rightarrow $ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân phân biệt thỏa mãn ${{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '>0 \\
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \\
& \left( {{t}_{1}}-1 \right)\left( {{t}_{2}}-1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( m+2 \right)}^{2}}-3m+5>0 \\
& 2\left( m+2 \right)>0 \\
& 3m-5>0 \\
& 3m-5-2\left( m+2 \right)+1<0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^{2}+m+9>0(\text { luon dung }) \\ m>-2 \\ m>\dfrac{5}{3} \\ m-8<0\end{array} \Leftrightarrow \dfrac{5}{3}<m<8\right.$