Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 2 x^{2} - (m + 2) x + m$ có 2 điểm cực trị và điểm $N\left(...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số

y = - x^{3} + 2 x^{2} - (m + 2) x + m

có 2 điểm cực trị và điểm

N (2; - \frac{1}{3})

thuộc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.
A.

m = \frac{9}{5} .

B.

m = - 1.

C.

m = - \frac{5}{9} .

D.

m = - \frac{9}{5} .

Ta có

y^{'} = - 3 x^{2} + 4 x - (m + 2)

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình

y^{'} = 0

có hai nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow {\begin{aligned} - 3 \neq 0 \\ 4 - 3 (m + 2) > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow m < - \frac{2}{3} .

Mặt khác

y = \frac{1}{9} (3 x - 2) y^{'} - \frac{2}{9} (3 m + 2) x + \frac{1}{9} (7 m - 4)

y (x_{1}) = - \frac{2}{9} (3 m + 2) x + \frac{1}{9} (7 m - 4),

vì

y^{'} (x_{1}) = 0.

y (x_{2}) = - \frac{2}{9} (3 m + 2) x_{2} + \frac{1}{9} (7 m - 4),

vì

y^{'} (x_{2}) = 0.

Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Δ : y = - \frac{2}{9} (3 m + 2) x + \frac{1}{9} (7 m - 4)

Mà

N (2; - \frac{1}{3}) \in Δ

nên

- \frac{4}{9} (3 m + 2) + \frac{1}{9} (7 m - 4) = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow m = - \frac{9}{5} .

Đáp án D.

Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số y=−x3+2x2−(m+2)x+m có 2 điểm cực trị và điểm $N\left(...