Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số $y=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+m$ có 2 điểm cực trị và điểm $N\left(...

Ta có $y'=-3{{x}^{2}}+4x-\left( m+2 \right)$
Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3\ne 0 \\
& 4-3\left( m+2 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<-\dfrac{2}{3}.$
Mặt khác $y=\dfrac{1}{9}\left( 3x-2 \right)y'-\dfrac{2}{9}\left( 3m+2 \right)x+\dfrac{1}{9}\left( 7m-4 \right)$
$y\left( {{x}_{1}} \right)=-\dfrac{2}{9}\left( 3m+2 \right)x+\dfrac{1}{9}\left( 7m-4 \right),$ vì $y'\left( {{x}_{1}} \right)=0.$
$y\left( {{x}_{2}} \right)=-\dfrac{2}{9}\left( 3m+2 \right){{x}_{2}}+\dfrac{1}{9}\left( 7m-4 \right),$ vì $y'\left( {{x}_{2}} \right)=0.$
Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
$\Delta :y=-\dfrac{2}{9}\left( 3m+2 \right)x+\dfrac{1}{9}\left( 7m-4 \right)$
Mà $N\left( 2;-\dfrac{1}{3} \right)\in \Delta $ nên $-\dfrac{4}{9}\left( 3m+2 \right)+\dfrac{1}{9}\left( 7m-4 \right)=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow m=-\dfrac{9}{5}.$