Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ để phương trình ${{e}^{{{e}^{2x}}-a}}-2x-a=0$ có nhiều nghiệm nhất là
A. $a\ge 0$
B. $a>1$
C. $a<e$
D. $a\ge -1$
A. $a\ge 0$
B. $a>1$
C. $a<e$
D. $a\ge -1$
Cách giải:
Đặt ${{e}^{2x}}-a=2t,$ phương trình đã cho trở thành: ${{e}^{2t}}=2x+a\left( 1 \right)$.
Xét hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{2x}}=2t+a \\
& {{e}^{2t}}=2x+a \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{e}^{2x}}-{{e}^{2t}}=2t-2a\Leftrightarrow {{e}^{2x}}+2x={{e}^{2t}}+2t\left( 2 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t$ ta có $f'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0\forall t\in \mathbb{R}$, do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$\Rightarrow f\left( 2x \right)=f\left( 2t \right)\Leftrightarrow 2x=2t\Leftrightarrow x=t.$
$\Rightarrow {{e}^{2x}}=2x+a\Leftrightarrow a={{e}^{2x}}-2x\left( 3 \right).$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{e}^{2x}}-2x$ ta có $g'\left( x \right)=2{{e}^{2x}}-2=0\Leftrightarrow {{e}^{2x}}=1\Leftrightarrow x=0.$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (1) có nhiều nghiệm nhất khi và chỉ ki phương trình (3) có nhiều nghiệm nhất $\Rightarrow a>1.$
Đặt ${{e}^{2x}}-a=2t,$ phương trình đã cho trở thành: ${{e}^{2t}}=2x+a\left( 1 \right)$.
Xét hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{2x}}=2t+a \\
& {{e}^{2t}}=2x+a \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{e}^{2x}}-{{e}^{2t}}=2t-2a\Leftrightarrow {{e}^{2x}}+2x={{e}^{2t}}+2t\left( 2 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t$ ta có $f'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0\forall t\in \mathbb{R}$, do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$\Rightarrow f\left( 2x \right)=f\left( 2t \right)\Leftrightarrow 2x=2t\Leftrightarrow x=t.$
$\Rightarrow {{e}^{2x}}=2x+a\Leftrightarrow a={{e}^{2x}}-2x\left( 3 \right).$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{e}^{2x}}-2x$ ta có $g'\left( x \right)=2{{e}^{2x}}-2=0\Leftrightarrow {{e}^{2x}}=1\Leftrightarrow x=0.$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (1) có nhiều nghiệm nhất khi và chỉ ki phương trình (3) có nhiều nghiệm nhất $\Rightarrow a>1.$
Đáp án B.