Tìm tất cả các giá trị của mđể hàm số $y={{\cos }^{3}}x-3{{\sin...

Phương pháp:
- Sử dụng công thức $si{{n}^{2}}x=1-co{{s}^{2}}x$, đưa hàm số về một ẩn cos x.
- Đặt t= cos x, tìm khoảng giá trị của t. Đưa bài toán về ẩn t.
- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng $m\ge f\left( t \right)\forall t\in \left[ a;b \right]$, khi đó: $m\ge \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}} f\left( t \right).~$
- Lập BBT của hàm số $y=f\left( t \right)$ trên đoạn đang xét và kết luận.
Cách giải:
Xét hàm số $y=co{{s}^{3}}x-3si{{n}^{2}}x-m\cos x-1$ trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$.
Ta có:
$y=co{{s}^{3}}x-3si{{n}^{2}}~x-m\cos x~-~1$
$y=co{{s}^{3}}x-3\left( 1-co{{s}^{2}}~x \right)~-m\cos x~-~1~$
$y=co{{s}^{3}}x+3co{{s}^{2}}x-m\cos x~-~4~$
Đặt $t=\cos x$, với $x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$ thì hàm số $t\left( x \right)=\cos x$ nghịch biến trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]v\grave{a} t\in \left[ 0;1 \right].~$
Khi đó bài toán trở thành tìmmđể hàm số $y={{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-mt-4$ nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$.
$\Rightarrow y'=3{{t}^{2}}+6t-m\le 0 \forall t~\in ~\left[ 0;1 \right]~$
$\Leftrightarrow m\ge 3{{t}^{2~}}+6t\forall t~\in ~\left[ 0;1 \right]\left( 1~ \right)~$
Xét hàm số $f\left( t \right)=3{{t}^{2}}+6t$ trên [ 0;1 ] ta có: $f'\left( t \right)=6t+6=0\Leftrightarrow t=-1.$
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất đẳng thức (1) xảy ra $\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{max}} f\left( t \right)\Leftrightarrow m\ge 9.$