Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình ${{3}^{x}}=mx+1$ có hai nghiệm phân biệt.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m\ne \ln 3 \\
\end{aligned} \right.$.
B. $\left\{ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m\ne \ln 3 \\
\end{aligned} \right.$.
C. $m>0$.
D. Không tồn tại $m$.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m\ne \ln 3 \\
\end{aligned} \right.$.
B. $\left\{ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m\ne \ln 3 \\
\end{aligned} \right.$.
C. $m>0$.
D. Không tồn tại $m$.
Ta có: ${{3}^{x}}=mx+1$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y={{3}^{x}}$ và $y=mx+1$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{3}^{x}}$ tại điểm $\left( 0 ;1 \right)$ là: $y=\ln 3.x+1$.
Đường thẳng $y=mx+1$ và đồ thị hàm số $y={{3}^{x}}$ luôn đi qua điểm $\left( 0 ; 1 \right)$.
Nhận xét:
+ $m=0$ : Phương trình có nghiệm duy nhất.
+ $m<0$ : Hàm số $y=mx+1$ nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số $y={{3}^{x}}$ tại một điểm duy nhất.
+ $m>0$ : Hàm số $y=mx+1$ đồng biến nên để đồ thị hàm số $y=mx+1$ cắt đồ thị hàm số $y={{3}^{x}}$ tại 2 điểm phân biệt thì nó phải khác tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{3}^{x}}$ tại điểm $\left( 0 ; 1 \right)$, tức là $m\ne \ln 3$.
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m\ne \ln 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{3}^{x}}$ tại điểm $\left( 0 ;1 \right)$ là: $y=\ln 3.x+1$.
Đường thẳng $y=mx+1$ và đồ thị hàm số $y={{3}^{x}}$ luôn đi qua điểm $\left( 0 ; 1 \right)$.
Nhận xét:
+ $m=0$ : Phương trình có nghiệm duy nhất.
+ $m<0$ : Hàm số $y=mx+1$ nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số $y={{3}^{x}}$ tại một điểm duy nhất.
+ $m>0$ : Hàm số $y=mx+1$ đồng biến nên để đồ thị hàm số $y=mx+1$ cắt đồ thị hàm số $y={{3}^{x}}$ tại 2 điểm phân biệt thì nó phải khác tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{3}^{x}}$ tại điểm $\left( 0 ; 1 \right)$, tức là $m\ne \ln 3$.
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m\ne \ln 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án A.