Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Tập xác định $D=\mathbb{R}$
Ta có: $y'=3\left( m-1 \right){{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+3.$
Trường hợp 1: $m-1=0\Leftrightarrow m=1\Rightarrow y=3x+2\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Trường hợp 2: $m-1\ne 0\Rightarrow y'\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-1>0 \\
& \Delta '\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& 9{{\left( m-1 \right)}^{2}}-9\left( m-1 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& 1\le m\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1<m\le 2.$
Kết hợp hai trường hợp trên suy ra $1<m\le 2.$