Tìm tất cả các điểm M nằm trên đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-2}{x+1}$ mà tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó song song với đường thẳng $d:y=3x+10$.

Phương pháp giải:
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$.
- Hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y={a}'x+{b}'$ song song với nhau khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a={a}' \\
b\ne {b}' \\
\end{array} \right.$.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}};\dfrac{{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}+1} \right)\left( {{x}_{0}}\ne -1 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-2}{x+1}$.
Ta có $y=\dfrac{x-2}{x+1}\Rightarrow {y}'=\dfrac{3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M\left( {{x}_{0}};\dfrac{{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}+1} \right)$ có hệ số góc là $k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{3}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}$.
Vì tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng $d:y=3x+10$ nên $\dfrac{3}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}=3\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}=1$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{0}}+1=1 \\
{{x}_{0}}+1=-1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{0}}=0 \\
{{x}_{0}}=-2 \\
\end{array} \right.\left( tm \right) $ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
M\left( 0;-2 \right) \\
M\left( -2;4 \right) \\
\end{array} \right.$