Google
Câu hỏi: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=mx+\left( m+1 \right)\sqrt{x-2}$ nghịch biến trên $D=\left[ 2;+\infty \right)$.
A. $m\le -1$.
B. $m\ge 0$.
C. $m<-1$.
D. $-2\le m\le 1$.
A. $m\le -1$.
B. $m\ge 0$.
C. $m<-1$.
D. $-2\le m\le 1$.
Ta có: $y=mx+\left( m+1 \right)\sqrt{x-2}$ $\Rightarrow {y}'=m+\dfrac{m+1}{2\sqrt{x-2}}$, ${y}'$ xác định trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$.
Nhận xét: khi $x$ nhận giá trị trên $\left( 2;+\infty \right)$ thì $\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}$ nhận mọi giá trị trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow \left( m+1 \right)t+m\le 0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ (đặt $t=\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}$ ).
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+1\le 0 \\
& m+\left( m+1 \right)\cdot 0\le 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow m\le -1$.
Nhận xét: khi $x$ nhận giá trị trên $\left( 2;+\infty \right)$ thì $\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}$ nhận mọi giá trị trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow \left( m+1 \right)t+m\le 0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ (đặt $t=\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}$ ).
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+1\le 0 \\
& m+\left( m+1 \right)\cdot 0\le 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow m\le -1$.
Đáp án A.