Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số...

Phương pháp:
- Tìm điều kiện xác định của hàm số.
- Hàm số có tiệm cận đứng khi mẫu số có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện.
- Sử dụng định lí Vi-ét.
Cách giải:
TXĐ: $\left\{ \begin{aligned}
& x\ge -1 \\
& {{x}^{2}}-mx-3m>0 \\
\end{aligned} \right.$
Để đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng thì phương trình ${{x}^{2}}-mx-3m=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}\ge -1$. Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}+12m>0 \\
& \left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)\ge 0 \\
& \left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}+12m>0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1\ge 0 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}\ge -2 \\
\end{aligned} \right.$

Áp dụng định lí vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3m \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+12m>0 \\
& -3m+m+1\ge 0 \\
& m\ge -2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m<-12 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\le \dfrac{1}{2} \\
& m\ge -2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<m\le \dfrac{1}{2}$
Vậy m $\in \left( 0; \right.\left. \dfrac{1}{2} \right]$