Google
Câu hỏi: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều
kiện $\left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=\left| {{z}^{2}} \right|$ và $\left| z \right|=m$ ?
A. $\left\{ 2;2\sqrt{2} \right\}$
B. $\left[ 2;2\sqrt{2} \right]$
C. $\left\{ 2 \right\}$
D. $\left( 2;2\sqrt{2} \right)$
kiện $\left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=\left| {{z}^{2}} \right|$ và $\left| z \right|=m$ ?
A. $\left\{ 2;2\sqrt{2} \right\}$
B. $\left[ 2;2\sqrt{2} \right]$
C. $\left\{ 2 \right\}$
D. $\left( 2;2\sqrt{2} \right)$
Lời giải
Đặt $z=x+yi(x,y\in R)~$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=\left| {{z}^{2}} \right| \\
& \left| z \right|=m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{4{{x}^{2}}}+\sqrt{4{{y}^{2}}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\left| x \right|-2\left| y \right|=0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-{{m}^{2}}=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Điều kiện $\left( 1 \right)$ cho ta bốn đường tròn:
+ $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{2}$
$+\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( -1;1 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{2}$
$+\left( {{C}_{3}} \right)$ có tâm ${{I}_{3}}\left( 1;-1 \right)$ và bán kính ${{R}_{3}}=\sqrt{3}$
$+\left( {{C}_{4}} \right)$ có tâm ${{I}_{4}}\left( -1;-1 \right)$ và bán kính ${{R}_{4}}=\sqrt{2}$
. Điều kiện $\left( 2 \right)$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm O và bán kính $R=\left| m \right|$.
Dựa vào đồ thị, ta thấy điều kiện để có đúng 4 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn $\left( C \right)$ tiếp xúc với 4 đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right),\left( {{C}_{3}} \right),\left( {{C}_{4}} \right)$ tại $D,A,B,C$ hoặc đi qua các giao điểm $E,\text{ F},G,H$ của bốn đường tròn đó.
Suy ra $m=2\sqrt{2}$ hoặc $m=2.$
Cách 2: dùng điều kiện trên rồi thử các đáp án.
Đặt $z=x+yi(x,y\in R)~$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=\left| {{z}^{2}} \right| \\
& \left| z \right|=m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{4{{x}^{2}}}+\sqrt{4{{y}^{2}}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\left| x \right|-2\left| y \right|=0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-{{m}^{2}}=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Điều kiện $\left( 1 \right)$ cho ta bốn đường tròn:
+ $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{2}$
$+\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( -1;1 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{2}$
$+\left( {{C}_{3}} \right)$ có tâm ${{I}_{3}}\left( 1;-1 \right)$ và bán kính ${{R}_{3}}=\sqrt{3}$
$+\left( {{C}_{4}} \right)$ có tâm ${{I}_{4}}\left( -1;-1 \right)$ và bán kính ${{R}_{4}}=\sqrt{2}$
. Điều kiện $\left( 2 \right)$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm O và bán kính $R=\left| m \right|$.
Dựa vào đồ thị, ta thấy điều kiện để có đúng 4 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn $\left( C \right)$ tiếp xúc với 4 đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right),\left( {{C}_{3}} \right),\left( {{C}_{4}} \right)$ tại $D,A,B,C$ hoặc đi qua các giao điểm $E,\text{ F},G,H$ của bốn đường tròn đó.
Suy ra $m=2\sqrt{2}$ hoặc $m=2.$
Cách 2: dùng điều kiện trên rồi thử các đáp án.
Đáp án A.