Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left| z-1+3i \right|=\left| \bar{z}+1-i \right|$.

Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức $\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}$ ; $\left| {\bar{z}} \right|=\left| z \right|$.
- Đặt $z=a+bi$, sử dụng công thức $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$, biến đổi rút ra mối quan hệ giữa $a,b$ và kết luận.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có
$\left| z-1+3i \right|=\left| \bar{z}+1-i \right|$
$\Leftrightarrow \left| z-1+3i \right|=\left| \bar{z}+\overline{1+i} \right|\Leftrightarrow \left| z-1+3i \right|=\left| \overline{z+1+i} \right|$ $\Leftrightarrow \left| z-1+3i \right|=\left| z+1+i \right|$
Đặt $z=a+bi$ ta có:
$\left| a+bi-1+3i \right|=\left| a+bi+1+i \right|$
$\Leftrightarrow \left| \left( a-1 \right)+\left( b+3 \right)i \right|=\left| a+1+\left( b+1 \right)i \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}={{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow -2a+1+6b+9=2a+1+2b+1\Leftrightarrow 4a-4b-8=0$
$\Leftrightarrow a-b-2=0$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $x-y-2=0$.