Google
Câu hỏi: Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+1$, biết tiếp tuyến đó đi qua điểm $M\left( -1;-9 \right).$
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $0$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $0$.
Ta có ${y}'=12{{x}^{2}}-12x$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $N\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ :
$\Delta :y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}=\left( 12x_{0}^{2}-12{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+4x_{0}^{3}-6x_{0}^{2}+1$.
Theo đề: $M\left( -1;-9 \right)\in \Delta \Rightarrow \left( 12x_{0}^{2}-12{{x}_{0}} \right)\left( -1-{{x}_{0}} \right)+4x_{0}^{3}-6x_{0}^{2}+1=-9$
$\Leftrightarrow -12x_{0}^{2}-12x_{0}^{3}+12{{x}_{0}}+12x_{0}^{2}+4x_{0}^{3}-6x_{0}^{2}+1=-9\Leftrightarrow -8x_{0}^{3}-6x_{0}^{2}+12{{x}_{0}}+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=\dfrac{5}{4} \\
& {{x}_{0}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $N\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ :
$\Delta :y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}=\left( 12x_{0}^{2}-12{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+4x_{0}^{3}-6x_{0}^{2}+1$.
Theo đề: $M\left( -1;-9 \right)\in \Delta \Rightarrow \left( 12x_{0}^{2}-12{{x}_{0}} \right)\left( -1-{{x}_{0}} \right)+4x_{0}^{3}-6x_{0}^{2}+1=-9$
$\Leftrightarrow -12x_{0}^{2}-12x_{0}^{3}+12{{x}_{0}}+12x_{0}^{2}+4x_{0}^{3}-6x_{0}^{2}+1=-9\Leftrightarrow -8x_{0}^{3}-6x_{0}^{2}+12{{x}_{0}}+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=\dfrac{5}{4} \\
& {{x}_{0}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án B.