Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ln $\left(...

Phương pháp:
- Đặt $t={{x}^{2}}+3x+1\left( t>0 \right)$, đưa bất phương trình về dạng f( t) < m.
- Xét tính đơn điệu của hàm số f( t) và kết luận nghiệm tcủa bất phương trình.
- Tử nghiệm tgiải bất phương trình tìm nghiệm xsau đó tìm các giá trị xnguyên thỏa mãn.
Cách giải:
ĐKXĐ: ${{x}^{2}}+3x+1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2} \\
& x<\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t={{x}^{2}}+3x+1\left( t>0 \right)$, bất phương trình trở thành ln $t+t-1<0\Leftrightarrow lnt+t<1.~$
Đặt $f\left( t \right)=lnt+t\left( t>0 \right)$ ta có: $f'\left( t \right)=1t+1>0\forall t>0$ ⇒ Hàm số y= f( t) đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Lại có $f\left( 1 \right)=ln1+1=1$, do đó $f\left( t \right)<1=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 0<t<1.~$
$\Rightarrow 0<{{x}^{2}}+3x+1<1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x<\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2} \\
& x<\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& -3<x<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\in \left( \dfrac{-3-\sqrt{5}}{2} \right)\cup \left( \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2};0 \right)$
Mà $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \varnothing ~$
Vậy bất phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.