Tìm số dao động cực đại giữa hai nguồn

lvcat

Super Moderator
Super Moderator
Bài toán
Tại gốc O của hệ xOy đặt một nguồn sóng nước, M và N là 2 điểm cố định trên Ox có tọa độ tương ứng là 9 cm; 16 cm, Dịch chuyển một nguồn són O' ( giống nguồn tại O trên trục Oy thì thấy khi $\widehat{MO'N}$ lớn nhất thì cũng là lúc M và N là 2 điểm dao động với biên độ cực đại liền kề. Số dao động với biên độ cực đại trong khoảng OO' là
A. 13
B. 14
C. 12
D. 11
 
Bài này hay đấy, đề chuyên Vinh, cách mình :

Đặt: $OO' = x$ $\Rightarrow \tan \widehat{OO'M} = \dfrac{9}{x}, \tan \widehat{OO'N} = \dfrac{16}{x}$
Ta có:
$\tan \widehat{MO'N} = \tan \left(\widehat{OO'N} - \widehat{OO'M}\right)$
$= \dfrac{\tan \widehat{OO'N} - \tan \widehat{OO'M}}{1 + \tan \widehat{OO'N}.\tan \widehat{OO'M}}$
$= \dfrac{\dfrac{16}{x} - \dfrac{9}{x}}{1 + \dfrac{16.9}{x^2}} = \dfrac{7}{x + \dfrac{144}{x}}$

Cosi nên $\widehat{MO'N}_{max}\Leftrightarrow x = 12$
Từ đây dễ rồi
 
Bài toán
Tại gốc O của hệ xOy đặt một nguồn sóng nước, M và N là 2 điểm cố định trên Õ có tọa độ tương ứng là 9 cm; 16 cm, Dịch chuyển một nguồn són O' ( giống nguồn tại O trên trục Oy thì thấy khi $\widehat{MO'N}$ lớn nhất thì cũng là lúc M và N là 2 điểm dao động với biên độ cực đại liền kề. Số dao động với biên độ cực đại trong khoảng OO' là
A. 13
B. 14
C. 12
D. 11
Nhận xét: Chậm chân hơn hoaluuly777 một chút.
Bài làm:
Đặt $x=OO'$ với x>0.
Theo định lí hàm số\cosin trong tam giác O'MN, ta có:
$$\cos {MO'N}=f\left(x\right)=\dfrac{x^2+81+x^2+256-49}{2.\sqrt{x^2+81}.\sqrt{x^2+256}}.$$
Như vậy $\widehat{MO'N}$ lớn nhất khi f(x) nhỏ nhất(vì $\widehat{MO'N}$ nhọn).
Xét $$y=f^2\left(x\right)=\dfrac{x^4+288x^2+20736}{x^4+337x^2+22736}.$$
Đặt $x^2=t$, ta có :
$$\left(y-1\right)t^2=\left(237y-228\right)t+20736\left(y-1\right)=0.$$(1).
Coi (1) là phương trính bậc 2 ẩn t, ta có (1) có nghiệm
$$\Leftrightarrow y \geq \dfrac{576}{25}.$$
Thay vào (1), ta có:
$$t=\dfrac{288-337y}{2\left(y-1\right)}=144 \Rightarrow x=12.$$
Sử dụng nốt giả thiết M, N nằm trên 2 cực đại liền kề, ta có:
$NO'=20; MO'=15$.
$MO'-MO=6; NO'-NO=4$.
Theo bài ta có $\lambda=2$.
Các điểm cực đại trên khoảng O O' thỏa mãn:
$-12<k\lambda < 12$ và $k \in Z$.
Từ đó ta có số điểm cần tìm là $5.2+1=11$.
Chọn $D$.
 
Lần chỉnh sửa cuối bởi 1 quản trị viên:
Bài này mình nghĩ đến dùng $\cos$ như Hiếu nhưng không đủ bình tĩnh để xét cái hàm, còn hàm $\tan$ thì đúng là mình không nhớ, dùng $ \tan$ nhanh hơn thật, đề ĐH năm ngoái cũng có 1 câu điện dùng $\tan$ , phải nhớ thôi .
 
Bài này hay đấy, đề chuyên Vinh, cách mình :

Đặt: $OO' = x$ $\Rightarrow \tan \widehat{OO'M} = \dfrac{9}{x}, \tan \widehat{OO'N} = \dfrac{16}{x}$
Ta có:
$\tan \widehat{MO'N} = \tan \left(\widehat{OO'N} - \widehat{OO'M}\right)$
$= \dfrac{\tan \widehat{OO'N} - \tan \widehat{OO'M}}{1 + \tan \widehat{OO'N}.\tan \widehat{OO'M}}$
$= \dfrac{\dfrac{16}{x} - \dfrac{9}{x}}{1 + \dfrac{16.9}{x^2}} = \dfrac{7}{x + \dfrac{144}{x}}$

Cosi nên $\widehat{MO'N}_{max}\Leftrightarrow x = 12$
Từ đây dễ rồi
Sáng ngồi khảo sát hàm số giống hieubuidinh . .. . Cách của cậu rất hay, thực sự không nghĩ ra dùng tan được :(
 
Mình cũng muốn đóng góp một cách giải. Vẽ đường tròn đi qua qua $M và N$ và đồng thời tiếp xúc với $Oy$. Dễ thấy góc được tạo ở đây lớn nhất. Áp dụng phương tích ta có ngay kết quả.
 
Mình cũng muốn đóng góp một cách giải. Vẽ đường tròn đi qua qua $M$ và $N$ và đồng thời tiếp xúc với $Oy$. Dễ thấy góc được tạo ở đây lớn nhất. Áp dụng phương tích ta có ngay kết quả.

Bạn cụ thể mình tham khảo được không
p/s: Ý tưởng trên khá hay gặp bài này mình tịt luôn :D
 
Bạn cụ thể mình tham khảo được không
p/s: Ý tưởng trên khá hay gặp bài này mình tịt luôn :D

Mình không biết vẽ hình, nên đành dùng lời. Ý tưởng này nảy ra trong đầu mình là do, tập hợp các góc tạo thành khi di chuyển $O'$ là một tập hợp rất giống với góc nội tiếp chắn cùng một cung. Vậy nên mình cố gắng "nhồi" tập hợp đó về góc nội tiếp. Sau khi vẽ đường tròn như vậy thì có phải là góc $MO'N$ là góc nội tiếp chắn cung $MN$, góc này có số đo lớn hơn tất cả các góc tạo thành khác. Vì các góc khác đều là các góc ngoài đường tròn chắn cung MN. Đến đây thì dễ rồi. $OO'$ chính là tiếp tuyến của đường tròn, và $OMN$ là cát tuyến của đường tròn đó. Ta có $9.16 = OO'^2$
 

Quảng cáo

Back
Top