Tìm số các giá trị nguyên không dương của tham số m để hàm số...

Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ $t=lnx$, đưa hàm số về hàm số ẩn $t$.
- Tìm điều kiện của ẩn phụ.
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ khi nó xác định và liên tục trên khoảng $\left( a;b \right)$ đồng thời $f'(x)\ge 0,\forall x\in (a;b)$. (Dấu '=' chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).
- Tìm các giá trị nguyên không dương của m thỏa mãn.
Cách giải:
Đặt $t=\ln x,t\in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho trở thành $y=\dfrac{mt-2}{t+m-3}(t\ne 3-m) \left( 1 \right)$
Xét hàm số $t=lnx$ với $x\in \left( {{e}^{2}};+\infty \right)$ ta có: $t'(x)=\dfrac{1}{x}>0\forall x\in \left( {{e}^{2}};+\infty \right)$.
Do đó hàm số $t=lnx$ đồng biến trên khoảng $\left( {{e}^{2}};+\infty \right)$, do đó ta có: $t\in (2;+\infty )$.
Yêu cầu bài toán trở thành : Tìm số các giá trị nguyên không dương của tham số m để hàm số
$y=f(t)=\dfrac{mt-2}{t+m-3}$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$.
Ta có: $f'(t)=\dfrac{m(m-3)+2}{{{(t+m-3)}^{2}}}=\dfrac{{{m}^{2}}-3m+2}{{{(t+m-3)}^{2}}}$.
Hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ khi nó xác định trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ đồng thời $f'(t)\ge 0,\forall t\in (2;+\infty )$ (Dấu '=' chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).
Do đó,$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
t\ne 3-m \forall t\in (2;+\infty ) \\
{{m}^{2}}-3m+2>0 \\
\end{array}\Leftrightarrow \right. $ $ \left\{ \begin{aligned}
& 3-m\le 2 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge 1 \\
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m>2\Leftrightarrow m>2 \\
m<1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right..$
Suy ra không có giá trị nguyên không dương nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.