Google
Câu hỏi: Tìm số các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( -20;20 \right)$ để hàm số
$f\left( x \right)=\dfrac{1}{7}{{x}^{7}}+\dfrac{6}{5}{{x}^{5}}-\dfrac{{{m}^{3}}}{4}{{x}^{4}}+\left( 5-{{m}^{2}} \right){{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+10x+2020$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$.
A. 21.
B. 20.
C. 22.
D. 19.
$f\left( x \right)=\dfrac{1}{7}{{x}^{7}}+\dfrac{6}{5}{{x}^{5}}-\dfrac{{{m}^{3}}}{4}{{x}^{4}}+\left( 5-{{m}^{2}} \right){{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+10x+2020$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$.
A. 21.
B. 20.
C. 22.
D. 19.
* $f'\left( x \right)={{x}^{6}}-6{{x}^{4}}-{{\left( mx \right)}^{3}}+3\left( 5-{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}-6mx+10\ge 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\left[ {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{3}}+3.{{x}^{4}}.2+3.{{x}^{2}}{{.2}^{2}}+8 \right]+3\left( {{x}^{2}}+2 \right)\ge {{\left( mx \right)}^{3}}+3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+3mx+1+3mx+3$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{3}}+3\left( {{x}^{2}}+2 \right)\ge {{\left( mx+1 \right)}^{3}}+3\left( mx+1 \right)\left( * \right)$
Xét hàm số $y={{t}^{3}}+3t\Rightarrow y'=3{{t}^{2}}+3>0$
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+3t$ đồng biến
Suy ra bất phương trình $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\ge mx+1,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Rightarrow m\le \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}.$
$\Rightarrow m\le Min\left( \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x} \right)\Rightarrow m\le 2\Rightarrow -19\le m\le 2$
$\Rightarrow $ Có 22 giá trị
$\left[ {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{3}}+3.{{x}^{4}}.2+3.{{x}^{2}}{{.2}^{2}}+8 \right]+3\left( {{x}^{2}}+2 \right)\ge {{\left( mx \right)}^{3}}+3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+3mx+1+3mx+3$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{3}}+3\left( {{x}^{2}}+2 \right)\ge {{\left( mx+1 \right)}^{3}}+3\left( mx+1 \right)\left( * \right)$
Xét hàm số $y={{t}^{3}}+3t\Rightarrow y'=3{{t}^{2}}+3>0$
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+3t$ đồng biến
Suy ra bất phương trình $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\ge mx+1,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Rightarrow m\le \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}.$
$\Rightarrow m\le Min\left( \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x} \right)\Rightarrow m\le 2\Rightarrow -19\le m\le 2$
$\Rightarrow $ Có 22 giá trị
Đáp án C.