Tìm số các cặp số nguyên $(a;b)$ thỏa mãn ${\log }_{a}b+6{\log }_{b}a=5,2\le a\le 2020;2\le b\le 2021.$

Đặt $t={\log }_{a}b,$ khi đó ${\log }_{a}b+6{\log }_{b}a=5$ trở thành
$t+6{\displaystyle \frac{1}{t}}=5\iff t^2-5t+6=0\iff [\begin{array}{rl}& t=2\\ & t=3\end{array}.$
Với $t=2,$ suy ra: ${\log }_{a}b=2\iff b=a^2.$
Mặt khác $\{\begin{array}{rl}& 2\le a\le 2020\\ & 2\le b\le 2021\\ & b=a^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& 2\le a\le 2020\\ & 2\le a^2\le 2021\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& 2\le a\le 2020\\ & 1,41\approx \sqrt{2}\le a\le \sqrt{2021}\approx 44.96\end{array}$
Suy ra ta có 43 số $a\in \{2;3;4;...;44\}$, tương ứng có 43 số $b\in \{a_i^2,i=\overline{2,44}\}.$ Trường hợp này có 43 cặp.
Với $t=3$, suy ra: ${\log }_{a}b=3\iff b=a^3$.
Mặt khác $\{\begin{array}{rl}& a,b\in \mathbb{Z}\\ & 2\le a\le 2020\\ & 2\le b\le 2021\\ & b=a^3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& 2\le a\le 2020\\ & 2\le a^3\le 2021\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& 2\le a\le 2020\\ & 1.26\approx \sqrt[3]{2}\le a\le \sqrt[3]{2021}\approx 12.64\end{array}$
Suy ra có 11 số $a\in \{2;3;4;...;12\},$ tương ứng có 11 số $b\in \{a_i^3,i=\overline{2,12}\}.$ Trường hợp này có 11 cặp.
Vậy có $43+11=54$ cặp.