Tìm số các cặp số nguyên $\left(a; b \right)$ thỏa mãn ${{\log }_{a}}b+6{{\log }_{b}}a=5,2\le a\le 2020; 2\le b\le 2021.$

Đặt $t={{\log }_{a}}b,$ khi đó ${{\log }_{a}}b+6{{\log }_{b}}a=5$ trở thành
$t+6\dfrac{1}{t}=5\Leftrightarrow {{t}^{2}}-5t+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=3 \\
\end{aligned} \right..$
Với $t=2,$ suy ra: ${{\log }_{a}}b=2\Leftrightarrow b={{a}^{2}}.$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& 2\le a\le 2020 \\
& 2\le b\le 2021 \\
& b={{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\le a\le 2020 \\
& 2\le {{a}^{2}}\le 2021 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\le a\le 2020 \\
& 1,41\approx \sqrt{2}\le a\le \sqrt{2021}\approx 44.96 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ta có 43 số $a\in \left\{ 2; 3; 4;...; 44 \right\}$, tương ứng có 43 số $b\in \left\{ a_{i}^{2}, i=\overline{2,44} \right\}.$ Trường hợp này có 43 cặp.
Với $t=3$, suy ra: ${{\log }_{a}}b=3\Leftrightarrow b={{a}^{3}}$.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& a, b\in \mathbb{Z} \\
& 2\le a\le 2020 \\
& 2\le b\le 2021 \\
& b={{a}^{3}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\le a\le 2020 \\
& 2\le {{a}^{3}}\le 2021 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\le a\le 2020 \\
& 1.26\approx \sqrt[3]{2}\le a\le \sqrt[3]{2021}\approx 12.64 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra có 11 số $a\in \left\{ 2; 3; 4;...; 12 \right\},$ tương ứng có 11 số $b\in \left\{ a_{i}^{3}, i=\overline{2,12} \right\}.$ Trường hợp này có 11 cặp.
Vậy có $43+11=54$ cặp.