Tìm S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số $y={{2}^{\dfrac{mx+1}{x+m}}}$ nghịch biến trên $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.

Phương pháp giải:
- Để hàm số nghịch biến trên $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ thì ${y}'<0\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$
- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số mũ: ${{\left( {{a}^{u}} \right)}^{\prime }}={u}'{{a}^{u}}\ln a$.
Giải chi tiết:
Ta có $y={{2}^{\dfrac{mx+1}{x+m}}}\left( x\ne -m \right)$ $\Rightarrow {y}'=\dfrac{{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}{{2}^{\dfrac{mx+1}{x+m}}}\ln 2$.
Để hàm số nghịch biến trên $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ thì ${y}'<0\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}{{2}^{\dfrac{mx+1}{x+m}}}\ln 2<0\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}<0\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{m}^{2}}-1<0 \\
-m\notin \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right) \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-1<m<1 \\
-m\le \dfrac{1}{2} \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-1<m<1 \\
m\ge -\dfrac{1}{2} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le m<1$
Vậy $m\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right)$.