Tìm S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = 2^{\frac{m x + 1}{x + m}}$ nghịch biến trên $(\frac{1}{2}; + \infty)$ .

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Tìm S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = 2^{\frac{m x + 1}{x + m}}

nghịch biến trên

(\frac{1}{2}; + \infty)

.
A.

S = (- 1; 1)

B.

S = [\frac{1}{2}; 1]

C.

S = [- \frac{1}{2}; 1)

D.

S = (\frac{1}{2}; 1)

Phương pháp giải:
- Để hàm số nghịch biến trên

(\frac{1}{2}; + \infty)

thì

y^{'} < 0 \forall x \in (\frac{1}{2}; + \infty)

- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số mũ:

{(a^{u})}^{'} = u^{'} a^{u} \ln a

.
Giải chi tiết:
Ta có

y = 2^{\frac{m x + 1}{x + m}} (x \neq - m)

\Rightarrow y^{'} = \frac{m^{2} - 1}{{(x + m)}^{2}} 2^{\frac{m x + 1}{x + m}} \ln 2

.
Để hàm số nghịch biến trên

(\frac{1}{2}; + \infty)

thì

y^{'} < 0 \forall x \in (\frac{1}{2}; + \infty)

\Leftrightarrow \frac{m^{2} - 1}{{(x + m)}^{2}} 2^{\frac{m x + 1}{x + m}} \ln 2 < 0 \forall x \in (\frac{1}{2}; + \infty)

\Leftrightarrow \frac{m^{2} - 1}{{(x + m)}^{2}} < 0 \forall x \in (\frac{1}{2}; + \infty)

\Leftrightarrow {\begin{cases} m^{2} - 1 < 0 \\ - m \notin (\frac{1}{2}; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} - 1 < m < 1 \\ - m \leq \frac{1}{2} \end{cases}

\Leftrightarrow {\begin{cases} - 1 < m < 1 \\ m \geq - \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m < 1

Vậy

m \in [- \frac{1}{2}; 1)

.

Đáp án C.

Tìm S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y=2mx+1x+m nghịch biến trên (12;+∞).