Tìm hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển thành đa thức của...

Xét hàm số $f(x)={{(1+x)}^{2n+1}}$
Theo công thức khai triển nhị thức Newton:
$f(x)=C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}x+C_{2n+1}^{2}{{x}^{2}}+...+C_{2n+1}^{2n}{{x}^{2n}}+C_{2n+1}^{2n+1}{{x}^{2n+1}}$
Từ đó ta có:
$f(1)={{2}^{2n+1}}=C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+...+C_{2n+1}^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}\quad (1)$
$f(-1)=0=C_{2n+1}^{0}-C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}-...+C_{2n+1}^{2n}-C_{2n+1}^{2n+1}\quad \ (2)\quad $
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có: $\begin{aligned}
& {{2}^{2n+1}}=2(C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{2}+C_{2n+1}^{4}+...+C_{2n+1}^{2n}) \\
& \\
\end{aligned}$ (3)
Từ (3) và giả thiết suy ra ${{2}^{2n+1}}=2.1024\Leftrightarrow {{2}^{2n+1}}={{2}^{2n+1}}={{2}^{11}}\Leftrightarrow n=5$
Bài toán trở thành tìm hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển thành đa thức của ${{(3-2x)}^{10}}$
Ta có ${{(3-2x)}^{10}}=\underset{k=0}{\overset{10}{\mathop{\Sigma }}} C_{10}^{k}{{.3}^{10-k}}.{{(-2x)}^{k}}=\underset{k=0}{\overset{10}{\mathop{\Sigma }}} C_{10}^{k}{{.3}^{10-k}}.{{(-2)}^{k}}.{{x}^{k}}$
Do đó hệ số của ${{x}^{8}}$ ứng với $k=8$ là $C_{10}^{8}{{.3}^{10-8}}.{{(-2)}^{8}}=103680$.