Google
Câu hỏi: Tìm hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển ${{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{1}{x} \right)}^{n}}$ biết $n$ là số dương thỏa mãn: $5C_{n}^{n-1}-C_{n}^{3}=0$.
A. $-\dfrac{35}{2}$.
B. $\dfrac{35}{16}$.
C. $-\dfrac{35}{16}$.
D. $\dfrac{35}{2}$.
A. $-\dfrac{35}{2}$.
B. $\dfrac{35}{16}$.
C. $-\dfrac{35}{16}$.
D. $\dfrac{35}{2}$.
Ta có : $5C_{n}^{n-1}-C_{n}^{3}=0\Leftrightarrow 5n-\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}=0\Leftrightarrow 30-(n-1(n-2)=0(do n\ge 3)$
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-3n-28=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=7(tm) \\
& n=-4(l) \\
\end{aligned} \right.$
Số hạng tổng quát trong khai triển ${{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{1}{x} \right)}^{7}}$ là:
$C_{7}^{k}{{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)}^{7-k}}.{{\left( -\dfrac{1}{x} \right)}^{k}}=C_{7}^{k}.{{(-1)}^{k}}.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{7-k}}.{{x}^{14-3k}}(0\le k\le 7)$
Số hạng chứa ${{x}^{5}}$ ứng với số tự nhiên k thỏa mãn: $14-3k=5\Leftrightarrow k=3$.
Vậy hệ số của ${{x}^{5}}$ là: $C_{7}^{3}.{{(-1)}^{3}}.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{7-3}}=-\dfrac{35}{16}$.
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-3n-28=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=7(tm) \\
& n=-4(l) \\
\end{aligned} \right.$
Số hạng tổng quát trong khai triển ${{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{1}{x} \right)}^{7}}$ là:
$C_{7}^{k}{{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)}^{7-k}}.{{\left( -\dfrac{1}{x} \right)}^{k}}=C_{7}^{k}.{{(-1)}^{k}}.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{7-k}}.{{x}^{14-3k}}(0\le k\le 7)$
Số hạng chứa ${{x}^{5}}$ ứng với số tự nhiên k thỏa mãn: $14-3k=5\Leftrightarrow k=3$.
Vậy hệ số của ${{x}^{5}}$ là: $C_{7}^{3}.{{(-1)}^{3}}.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{7-3}}=-\dfrac{35}{16}$.
Đáp án C.