Google
Câu hỏi: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{3}}$ trong khai triển Newton của ${{\left( x+\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{6}},x>0$.
A. 60.
B. 80.
C. 240.
D. 160.
A. 60.
B. 80.
C. 240.
D. 160.
Phương pháp giải:
- Khai triển nhị thức Newton: ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}$.
- Tìm k ứng với số mũ của x bằng 3, tìm k và suy ra hệ số của ${{x}^{3}}$ trong khai triển.
Giải chi tiết:
Ta có: ${{\left( x+\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{x}^{6-k}}{{\left( \dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{k}}}$ $=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{6-k}}{{x}^{-\dfrac{k}{2}}}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{6-\dfrac{3k}{2}}}}\left( k\in \left[ 0;6 \right] \right)$.
Để tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{3}}$ ta cho $6-\dfrac{3k}{2}=3\Leftrightarrow k=2\left( tm \right)$.
Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{3}}$ trong khai triển trên là $C_{6}^{2}{{2}^{2}}=60$.
- Khai triển nhị thức Newton: ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}$.
- Tìm k ứng với số mũ của x bằng 3, tìm k và suy ra hệ số của ${{x}^{3}}$ trong khai triển.
Giải chi tiết:
Ta có: ${{\left( x+\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{x}^{6-k}}{{\left( \dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{k}}}$ $=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{6-k}}{{x}^{-\dfrac{k}{2}}}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{6-\dfrac{3k}{2}}}}\left( k\in \left[ 0;6 \right] \right)$.
Để tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{3}}$ ta cho $6-\dfrac{3k}{2}=3\Leftrightarrow k=2\left( tm \right)$.
Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{3}}$ trong khai triển trên là $C_{6}^{2}{{2}^{2}}=60$.
Đáp án A.