Tìm hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển Newton của ${(x+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}})}^6,x>0$.

Phương pháp giải:
- Khai triển nhị thức Newton: ${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$.
- Tìm k ứng với số mũ của x bằng 3, tìm k và suy ra hệ số của $x^3$ trong khai triển.
Giải chi tiết:
Ta có: ${(x+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}})}^6=\sum _{k=0}^6{C}_6^k{x}^{6-k}{\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}\right)}^k$ $=\sum _{k=0}^6{C}_6^k{2}^k{x}^{6-k}{x}^{-{\displaystyle \frac{k}{2}}}=\sum _{k=0}^6{C}_6^k{2}^k{x}^{6-{\displaystyle \frac{3k}{2}}}(k\in [0;6])$.
Để tìm hệ số của số hạng chứa $x^3$ ta cho $6-{\displaystyle \frac{3k}{2}}=3\iff k=2\left(tm\right)$.
Vậy hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển trên là $C_6^2{2}^2=60$.