Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{2}^{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+mx+1}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)?$

Phương pháp:
- Tìm đạo hàm của hàm số. Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left( {{a}^{u}} \right)'={{a}^{u}}.\ln a.u'.$
- Để hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;b \right)$ thì $y'\ge 0\forall x\in \left( a;b \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Đưa bất phương trình về dạng $m\Leftrightarrow f\left( x \right)\forall x\in \left( a;b \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right).$
- Lập bảng biến thiên hàm số $f\left( x \right)$ rồi kết luận.
Cách giải:
Ta có $y={{2}^{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+mx+1}}\Rightarrow y'=\left( 3{{x}^{2}}-2x+m \right){{.2}^{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+mx+1}}$
Để hàm số đồng biến trên $\left( 1;2 \right)$ thì $y'=\left( 3{{x}^{2}}-2x+m \right){{.2}^{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+mx+1}}\ge 0\forall x\in \left( 1;2 \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2x+m\ge 0\forall x\in \left( 1;2 \right)$ (do ${{2}^{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+mx-1}}>0\forall x$ )
$\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+2x,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)$ với $f\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+2x\left( * \right).$
Xét hàm số $f\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+2x$ ta có: $f'\left( x \right)=-6x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\notin \left[ 1;2 \right].$
Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy $m\ge f\left( 1 \right)=-1.$