Google
Câu hỏi: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d$ : $y=-x+m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho trọng tâm của tam giác $OAB$ thuộc đường thẳng $\Delta $ : $2x-y-3=0$, với $O$ là gốc tọa độ.
A. $m=18.$
B. $m=-18.$
C. $m=5.$
D. $m=12.$
A. $m=18.$
B. $m=-18.$
C. $m=5.$
D. $m=12.$
Xétt phương trình hoành độ: $\dfrac{2x+3}{x+1}=-x+m $ ; $\left( x\ne -1 \right)$.
$\Leftrightarrow 2x+3=-{{x}^{2}}-x+mx+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x\left( 3-m \right)+3-m=0$ $\left( 1 \right)$
Hoành độ của giao điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right);B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ là nghiệm phương trình $\left( 1 \right)$ nên ${{x}_{A}}+{{x}_{B}}=m-3$
Tọa độ trọng tâm của tam giác $OAB$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{3}=\dfrac{m-3}{3} \\
& y=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{3}=\dfrac{-{{x}_{A}}+m+\left( -{{x}_{B}}+m \right)}{3}=\dfrac{m+3}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Vì trọng tâm thuộc đường thẳng $\Delta $ : $2.\dfrac{m-3}{3}-\dfrac{m+3}{3}-3=0\Leftrightarrow m=18$.
$\Leftrightarrow 2x+3=-{{x}^{2}}-x+mx+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x\left( 3-m \right)+3-m=0$ $\left( 1 \right)$
Hoành độ của giao điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right);B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ là nghiệm phương trình $\left( 1 \right)$ nên ${{x}_{A}}+{{x}_{B}}=m-3$
Tọa độ trọng tâm của tam giác $OAB$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{3}=\dfrac{m-3}{3} \\
& y=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{3}=\dfrac{-{{x}_{A}}+m+\left( -{{x}_{B}}+m \right)}{3}=\dfrac{m+3}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Vì trọng tâm thuộc đường thẳng $\Delta $ : $2.\dfrac{m-3}{3}-\dfrac{m+3}{3}-3=0\Leftrightarrow m=18$.
Đáp án A.