Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y={{x}^{2}}+\dfrac{2}{x}$ trên đoạn $\left[ \dfrac{1}{2};2 \right]$.

Hàm số $y={{x}^{2}}+\dfrac{2}{x}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \!\!\{\!\!\text{ 0 }\!\!\}\!\!$ nên hàm số liên tục trên đoạn $\left[ \dfrac{1}{2}; 2 \right]$.
Ta có ${y}'=2x-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=1$
Khi đó $f\left(\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{17}{4}$ ; $f\left(1 \right)=3$ ; $f\left(2 \right)=5$.
Vậy $\underset{\left[ \dfrac{1}{2}; 2 \right]}{\mathop{\min }} y=m=3$