Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm trên...

Phương pháp:
Đặt ẩn phụ và khảo sát hàm số.
Cách giải:
Ta có: $(m-1)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}{{(x-2)}^{2}}+4(m-5){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{1}{x-2}+4m-4=0\left( x\in \left[ \dfrac{5}{2};4 \right] \right)$
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow 4(m-1)\log _{2}^{2}(x-2)+4(m-5){{\log }_{2}}(x-2)+4m-4=0 \\
\Leftrightarrow (m-1)\log _{2}^{2}(x-2)+(m-5){{\log }_{2}}(x-2)+m-1=0 \\
\end{array}$

Đặt ${{\log }_{2}}(x-2)=t$. Do $x\in \left[ \dfrac{5}{2};4 \right]$ nên $t\in \left[ -1;1 \right]$
Phương trình trở thành $(m-1){{t}^{2}}+(m-5)t+m-1=0(*),(t\in [-1;1])$
$(*)\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)={{t}^{2}}+5t+1\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}\left( do{{t}^{2}}+t+1\ne 0,\forall t \right)$
Xét hàm số $f(t)=\dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1},t\in [-1;1]$
$f'(t)=\dfrac{(2t+5)\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)-(2t+1)\left( {{t}^{2}}+5t+1 \right)}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}\ge 0,\forall t\in [-1;1]$
⇒ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $(-1;1)\Rightarrow \underset{_{[-1,1]}}{\mathop{\min }} f(t)=f(-1)=-3,\underset{_{[-1,1]}}{\mathop{\max }} f(t)=f(1)=\dfrac{7}{3}$
Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow -3\le m\le \dfrac{7}{3}.~$