Google
Câu hỏi: Tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số $y=\dfrac{4x-3}{2x+1}$ cùng với 2 tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích bằng:
A. $4.$
B. $.7.$
C. $5.$
D. $6.$
A. $4.$
B. $.7.$
C. $5.$
D. $6.$
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\text{ l }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ : }y={{f}^{\prime }}\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}.$
Cách giải:
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{4x-3}{2x+1}(C)$ có hai tiệm cận là: $x=-\dfrac{1}{2},y=2$, giao điểm của hai tiệm cận là: $I\left( -\dfrac{1}{2};2 \right)$
Lấy $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in (C)\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{4{{x}_{0}}-3}{2{{x}_{0}}+1}\left( {{x}_{0}}\ne -\dfrac{1}{2} \right),{{y}^{\prime }}\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{10}{{{\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}$
PTTT của (C)tại điểm Mlà: $y=\dfrac{10}{{{\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{4{{x}_{0}}-3}{2{{x}_{0}}+1}(d)$
$\text{ Cho }x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{10}{{{\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\cdot \left( -\dfrac{1}{2}-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{4{{x}_{0}}-3}{2{{x}_{0}}+1}=\dfrac{-5}{2{{x}_{0}}+1}+\dfrac{4{{x}_{0}}-3}{2{{x}_{0}}+1}=\dfrac{4{{x}_{0}}-8}{2{{x}_{0}}+1}$
⇒ Giao điểm của dvà TCĐ của (C)là: $A\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{4{{x}_{0}}-8}{2{{x}_{0}}+1} \right)\Rightarrow IA=\left| \dfrac{4{{x}_{0}}-8}{2{{x}_{0}}+1}-2 \right|=\left| \dfrac{10}{2{{x}_{0}}+1} \right|$
Cho y= 2 ta có:
$2=\dfrac{10}{{{\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{4{{x}_{0}}-3}{2{{x}_{0}}+1}$
$\Leftrightarrow \dfrac{10}{{{\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)=\dfrac{5}{2{{x}_{0}}+1}$
$\Leftrightarrow x-{{x}_{0}}=\dfrac{2{{x}_{0}}+1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{4{{x}_{0}}+1}{2}$
⇒ Giao điểm của dvà TCN của (C)là: $B\left( \dfrac{4{{x}_{0}}+1}{2};2 \right)\Rightarrow IB=\left| \dfrac{4{{x}_{0}}+1}{2}+\dfrac{1}{2} \right|=\left| 2{{x}_{0}}+1 \right|$
Diện tích tam giác tạo thành là: $S=\dfrac{1}{2}.IA.IB=\dfrac{1}{2}\cdot \left| \dfrac{10}{2{{x}_{0}}+1} \right|\cdot \left| 2{{x}_{0}}+1 \right|=5.$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\text{ l }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ : }y={{f}^{\prime }}\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}.$
Cách giải:
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{4x-3}{2x+1}(C)$ có hai tiệm cận là: $x=-\dfrac{1}{2},y=2$, giao điểm của hai tiệm cận là: $I\left( -\dfrac{1}{2};2 \right)$
Lấy $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in (C)\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{4{{x}_{0}}-3}{2{{x}_{0}}+1}\left( {{x}_{0}}\ne -\dfrac{1}{2} \right),{{y}^{\prime }}\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{10}{{{\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}$
PTTT của (C)tại điểm Mlà: $y=\dfrac{10}{{{\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{4{{x}_{0}}-3}{2{{x}_{0}}+1}(d)$
$\text{ Cho }x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{10}{{{\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\cdot \left( -\dfrac{1}{2}-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{4{{x}_{0}}-3}{2{{x}_{0}}+1}=\dfrac{-5}{2{{x}_{0}}+1}+\dfrac{4{{x}_{0}}-3}{2{{x}_{0}}+1}=\dfrac{4{{x}_{0}}-8}{2{{x}_{0}}+1}$
⇒ Giao điểm của dvà TCĐ của (C)là: $A\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{4{{x}_{0}}-8}{2{{x}_{0}}+1} \right)\Rightarrow IA=\left| \dfrac{4{{x}_{0}}-8}{2{{x}_{0}}+1}-2 \right|=\left| \dfrac{10}{2{{x}_{0}}+1} \right|$
Cho y= 2 ta có:
$2=\dfrac{10}{{{\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{4{{x}_{0}}-3}{2{{x}_{0}}+1}$
$\Leftrightarrow \dfrac{10}{{{\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)=\dfrac{5}{2{{x}_{0}}+1}$
$\Leftrightarrow x-{{x}_{0}}=\dfrac{2{{x}_{0}}+1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{4{{x}_{0}}+1}{2}$
⇒ Giao điểm của dvà TCN của (C)là: $B\left( \dfrac{4{{x}_{0}}+1}{2};2 \right)\Rightarrow IB=\left| \dfrac{4{{x}_{0}}+1}{2}+\dfrac{1}{2} \right|=\left| 2{{x}_{0}}+1 \right|$
Diện tích tam giác tạo thành là: $S=\dfrac{1}{2}.IA.IB=\dfrac{1}{2}\cdot \left| \dfrac{10}{2{{x}_{0}}+1} \right|\cdot \left| 2{{x}_{0}}+1 \right|=5.$
Đáp án C.