C biến thiên Tỉ số $\dfrac{R}{Z_{L}}$ của đoạn mạch xấp xỉ bằng?

Kate Spencer said:

Bài toán
Đặt hiệu điện thế xoay chiều $u=U_{0}\cos \left(100\pi t + \varphi \right)$ vào hai đầu đoạn mạch nối tiếp theo thứ tự gồm R, C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Tụ điện có điện dung C thay đổi được. Ban đầu điều chỉnh C để hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch chứa R và C đạt cực đại. Sau đó, phải giảm giá trị điện dung đi ba lần thì hiệu điện thế hai đầu tụ mới đạt cực đại. Tỉ số $\dfrac{R}{Z_{L}}$ của đoạn mạch xấp xỉ bằng?
A. 3,6
B. 2,8
C. 3,2
D. 2,4

Click to expand...

Cách 1:
Ta có: ${U_{RC}} = \dfrac{U}{{\sqrt {\dfrac{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{{{R^2} + Z_C^2}}} }} = \dfrac{U}{{\sqrt {1 + \dfrac{{Z_L^2 - 2{Z_C}{Z_L}}}{{{R^2} + Z_C^2}}} }}$

Đặt $y = \dfrac{{Z_L^2 - 2{Z_C}{Z_L}}}{{{R^2} + Z_C^2}};y' = 0$ thì $U_{RC_{max}}$

${{Z_{{C_1}}} = \dfrac{{{Z_L} + \sqrt {4{R^2} + Z_L^2} }}{2}}$, đặt $x = \dfrac{R}{{{Z_L}}}\, \Rightarrow \dfrac{{{Z_{{C_1}}}}}{R} = \dfrac{{0,5}}{x} + 0,5\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}$

${Z_{C_{2}}} = \dfrac{{{R^2} + {Z_L}^2}}{{{Z_L}}} \Rightarrow \dfrac{{{Z_{C_{2}}}}}{R} = \dfrac{1}{x} + x = 3\left( {\dfrac{{0,5}}{x} + 0,5\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} } \right)$

$ \Rightarrow x = 3,2$. Từ đó ta chọn đáp án C.

Cách 2:
Thay đổi C để $U_{{RC}_{max}}$:


Giảm C đi 3 lần để $U_{C_{max}}$

Giải PT ta được $R=\sqrt{7 + \dfrac{3\sqrt{6}}{2}}\simeq 3,2$. Chọn C.

Kate Spencer said:

Bài toán
Đặt hiệu điện thế xoay chiều $u=U_{0}\cos \left(100\pi t + \varphi \right)$ vào hai đầu đoạn mạch nối tiếp theo thứ tự gồm R, C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Tụ điện có điện dung C thay đổi được. Ban đầu điều chỉnh C để hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch chứa R và C đạt cực đại. Sau đó, phải giảm giá trị điện dung đi ba lần thì hiệu điện thế hai đầu tụ mới đạt cực đại. Tỉ số $\dfrac{R}{Z_{L}}$ của đoạn mạch xấp xỉ bằng?
A. 3,6
B. 2,8
C. 3,2
D. 2,4

Click to expand...

Lời giải

Ta có: $C$ thay đổi để $U_{RC}$ max khi:
$$Z_C=\dfrac{Z_L+\sqrt{Z_L^2+4R^2}}{2}$$
Khi tăng giảm dung kháng đi ba lần thì :$Z_C'=3Z_C$ và $U_C$ khi đó max
Hay: $$Z_C'=\dfrac{R^2+Z_L^2}{Z_L}$$
Từ hai phương trình ở trên ta có:
$$\dfrac{3}{2}\left(Z_L+\sqrt{Z_L^2+4R^2}\right)=\dfrac{R^2+Z_L^2}{Z_L}$$
Đặt $R=k Z_C$ ta có PT:
$$\dfrac{3}{2}\left(1+\sqrt{1+4k^2}\right)=k^2+1$$
Giải PT trên ta tìm được $k \approx 3,2$
Chọn C.