Google
Câu hỏi: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc bằng ${{60}^{0}}$. Diện tích của thiết diện này bằng
A. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$.
C. $2{{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}$.
Ta có:
Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ và có $BC=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow AO=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $AB=AC=a=l$ ( $l$ là độ dài đường sinh của hình nón)
Thiết diện qua đỉnh của hình nón tạo với đáy một góc bằng ${{60}^{0}}$ là tam giác cân tại $A$ : $\Delta AFG$
Gọi $H$ là trung điểm của $FG$.
Suy ra, góc giữa thiết diện qua đỉnh của hình nón với đáy là $\widehat{OHA}={{60}^{0}}$
$\sin \widehat{OHA}=\dfrac{OA}{AH}\Rightarrow AH=\dfrac{OA}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
$HF=\sqrt{F{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ ( vì $AF=l=a$ )
Diện tích thiết diện cần tìm:
$\Rightarrow {{S}_{\Delta AFG}}=\dfrac{1}{2}FG.AH=AH.HF=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$ (đvdt)
A. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$.
C. $2{{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}$.
Ta có:
Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ và có $BC=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow AO=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $AB=AC=a=l$ ( $l$ là độ dài đường sinh của hình nón)
Thiết diện qua đỉnh của hình nón tạo với đáy một góc bằng ${{60}^{0}}$ là tam giác cân tại $A$ : $\Delta AFG$
Gọi $H$ là trung điểm của $FG$.
Suy ra, góc giữa thiết diện qua đỉnh của hình nón với đáy là $\widehat{OHA}={{60}^{0}}$
$\sin \widehat{OHA}=\dfrac{OA}{AH}\Rightarrow AH=\dfrac{OA}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
$HF=\sqrt{F{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ ( vì $AF=l=a$ )
Diện tích thiết diện cần tìm:
$\Rightarrow {{S}_{\Delta AFG}}=\dfrac{1}{2}FG.AH=AH.HF=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$ (đvdt)
Đáp án A.