Google
Câu hỏi: Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{3x+1}}{x+1}$ trục hoành và đường thẳng $x=1$ là
A. $3\pi \ln 3$.
B. $\pi \left( 3\ln 3-2 \right)$.
C. $3\ln 3-1$.
D. $\pi \left( 3\ln 3-1 \right)$.
A. $3\pi \ln 3$.
B. $\pi \left( 3\ln 3-2 \right)$.
C. $3\ln 3-1$.
D. $\pi \left( 3\ln 3-1 \right)$.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{\sqrt{3x+1}}{x+1}=0\Leftrightarrow 3x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}$
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=\pi \int\limits_{-\dfrac{1}{3}}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)}\text{d}x=\pi \int\limits_{-\dfrac{1}{3}}^{1}{\dfrac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{d}x}$
Xét tích phân $I=\int\limits_{-\dfrac{1}{3}}^{1}{\dfrac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\int\limits_{-\dfrac{1}{3}}^{1}{\dfrac{3\left( x+1 \right)-2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\int\limits_{-\dfrac{1}{3}}^{1}{\left[ \dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right]\text{d}x}$
$=\left( 3\ln \left| x+1 \right|+\dfrac{2}{x+1} \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& -\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.=3\ln 2+1-3\ln \dfrac{2}{3}-3=3.\ln 3-2$
Vậy $V=\pi \left( 3\ln 3-2 \right)$.
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=\pi \int\limits_{-\dfrac{1}{3}}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)}\text{d}x=\pi \int\limits_{-\dfrac{1}{3}}^{1}{\dfrac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{d}x}$
Xét tích phân $I=\int\limits_{-\dfrac{1}{3}}^{1}{\dfrac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\int\limits_{-\dfrac{1}{3}}^{1}{\dfrac{3\left( x+1 \right)-2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\int\limits_{-\dfrac{1}{3}}^{1}{\left[ \dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right]\text{d}x}$
$=\left( 3\ln \left| x+1 \right|+\dfrac{2}{x+1} \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& -\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.=3\ln 2+1-3\ln \dfrac{2}{3}-3=3.\ln 3-2$
Vậy $V=\pi \left( 3\ln 3-2 \right)$.
Đáp án B.