Tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\log...

$\log \sqrt{mx}=\log (x+1),\left( 1 \right)$.
Điều kiện của phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& mx>0 \\
& x+1>0 \\
\end{aligned} \right..$
$\log \sqrt{mx}=\log (x+1)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-1,m\ne 0,\ x\ne 0 \\
& \sqrt{mx}=x+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-1,m\ne 0,\ x\ne 0 \\
& {{x}^{2}}+\left( 2-m \right)x+1=0 \\
\end{aligned} \right.\left( 2 \right).$
Đặt $h\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( 2-m \right)x+1$ (2). ${{\Delta }_{h}}={{m}^{2}}-4m$.
+ Với ${{\Delta }_{h}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=4 \\
\end{aligned} \right..$
Với $m=0$ không thỏa mãn điều kiện.
Với $m=4$ phương trình có nghiệm $x=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với ${{\Delta }_{h}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<0 \\
& m>4 \\
\end{aligned} \right..$
Do $m\ne 0,\ x\ne 0$ nên để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là $h\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}\le -1<{{x}_{2}}\Leftrightarrow h\left( -1 \right)<0\Leftrightarrow m<0$.
Kết luận: Để phương trình có nghiệm duy nhất khi $m<0$ hoặc $m=4$.