Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} (x \sqrt{x^{2} + 2} + 4 - x^{2}) + 2 x + \sqrt{x^{2} + 2} \leq 1$ là $\left(...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Tập nghiệm của bất phương trình

\log_{2} (x \sqrt{x^{2} + 2} + 4 - x^{2}) + 2 x + \sqrt{x^{2} + 2} \leq 1

là

(- \sqrt{a}; - \sqrt{b}] .

A.

\frac{15}{16}

.
B.

\frac{12}{5}

.
C.

\frac{16}{15}

.
D.

\frac{5}{12}

.

Ta có:

x \sqrt{x^{2} - 2} - x^{2} = x (\sqrt{x^{2} + 2} - x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2} + x} .

Ta có:

\log_{2} (x (\sqrt{x^{2} + 2} - x) + 4) + 2 x + \sqrt{x^{2} + 2} \leq 1

\Leftrightarrow \log_{2} (x (\sqrt{x^{2} + 2} - x) + 4) + 2 x + \sqrt{x^{2} + 2} \leq 1.

\Leftrightarrow \log_{2} (\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2} + x} + 4) + 2 x + \sqrt{x^{2} + 2} \leq 1 \Leftrightarrow \log_{2} \frac{2 (3 x + 2 \sqrt{x^{2} + 2})}{\sqrt{x^{2} + 2} + x} + 2 x + \sqrt{x^{2} + 2} \leq 1, (1)

Ta có

\sqrt{x^{2} + 2} + x > 0, \forall x \in R .

Điều kiện:

3 x + 2 \sqrt{x^{2} + 2} > 0 \Leftrightarrow 2 \sqrt{x^{2} + 2} > - 3 x \Leftrightarrow [\begin{aligned} x \geq 0 \\ {\begin{aligned} x < 0 \\ 4 x^{2} + 8 > 9 x^{2} \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow x > - \sqrt{\frac{8}{5}} . (*)

Với điều kiện (*), ta có

(1) \Leftrightarrow \log_{2} (3 x + 2 \sqrt{x^{2} + 2}) + 3 x + 2 \sqrt{x^{2} + 2} \leq \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 2} + x) + \sqrt{x^{2} + 2} + x, (2) .

Xét hàm số

f (t) = \log_{2} t + t

với

t > 0.

Có

f^{'} (t) = \frac{1}{t . \ln 2} + 1 > 0, \forall t \in (0; + \infty) .

Hàm số

f (t) = \log_{2} t + t

đồng biến trên

(0; + \infty), (3 x + 2 \sqrt{x^{2} + 2}) \in (0; + \infty)

và

(\sqrt{x^{2} + 2} + x) \in (0; + \infty) .

Nên

(2) \Leftrightarrow f (3 x + 2 \sqrt{x^{2} + 2}) \leq f (\sqrt{x^{2} + 2} + x)

\Leftrightarrow 3 x + 2 \sqrt{x^{2} + 2} \leq \sqrt{x^{2} + 2} + x \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 2} \leq - 2 x \Leftrightarrow {\begin{aligned} - 2 x \geq 0 \\ x^{2} + 2 \leq 4 x^{2} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x \leq 0 \\ 3 x^{2} \geq 2 \end{aligned} \Leftrightarrow x \leq - \sqrt{\frac{2}{3}} .

Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là

(- \sqrt{\frac{8}{5}}; - \sqrt{\frac{2}{3}})

hay

a . b = \frac{16}{15} .

Đáp án C.

Tập nghiệm của bất phương trình log2(xx2+2+4−x2)+2x+x2+2≤1 là $\left(...