Google
Câu hỏi: Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+2}+4-{{x}^{2}} \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1$ là $\left( -\sqrt{a};-\sqrt{b} \right].$
A. $\dfrac{15}{16}$.
B. $\dfrac{12}{5}$.
C. $\dfrac{16}{15}$.
D. $\dfrac{5}{12}$.
A. $\dfrac{15}{16}$.
B. $\dfrac{12}{5}$.
C. $\dfrac{16}{15}$.
D. $\dfrac{5}{12}$.
Ta có: $x\sqrt{{{x}^{2}}-2}-{{x}^{2}}=x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}-x \right)=\dfrac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x}.$
Ta có: ${{\log }_{2}}\left( x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}-x \right)+4 \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}-x \right)+4 \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1.$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x}+4 \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{2\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x}+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1,\left( 1 \right)$
Ta có $\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Điều kiện: $3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2}>0\Leftrightarrow 2\sqrt{{{x}^{2}}+2}>-3x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x<0 \\
& 4{{x}^{2}}+8>9{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>-\sqrt{\dfrac{8}{5}}.\left( * \right)$
Với điều kiện (*), ta có
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)+3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le {{\log }_{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x,\left( 2 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ với $t>0.$ Có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right).$
Hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right),\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)\in \left( 0;+\infty \right)$ và $\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)\in \left( 0;+\infty \right).$
Nên $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)\le f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)$
$\Leftrightarrow 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2}\le -2x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+2\le 4{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\le 0 \\
& 3{{x}^{2}}\ge 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\le -\sqrt{\dfrac{2}{3}}.$
Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là $\left( -\sqrt{\dfrac{8}{5}};-\sqrt{\dfrac{2}{3}} \right)$ hay $a.b=\dfrac{16}{15}.$
Ta có: ${{\log }_{2}}\left( x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}-x \right)+4 \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}-x \right)+4 \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1.$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x}+4 \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{2\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x}+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1,\left( 1 \right)$
Ta có $\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Điều kiện: $3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2}>0\Leftrightarrow 2\sqrt{{{x}^{2}}+2}>-3x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x<0 \\
& 4{{x}^{2}}+8>9{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>-\sqrt{\dfrac{8}{5}}.\left( * \right)$
Với điều kiện (*), ta có
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)+3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le {{\log }_{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x,\left( 2 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ với $t>0.$ Có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right).$
Hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right),\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)\in \left( 0;+\infty \right)$ và $\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)\in \left( 0;+\infty \right).$
Nên $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)\le f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)$
$\Leftrightarrow 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2}\le -2x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+2\le 4{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\le 0 \\
& 3{{x}^{2}}\ge 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\le -\sqrt{\dfrac{2}{3}}.$
Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là $\left( -\sqrt{\dfrac{8}{5}};-\sqrt{\dfrac{2}{3}} \right)$ hay $a.b=\dfrac{16}{15}.$
Đáp án C.