Google
Câu hỏi: Tập nghiệm của bất phương trình ${{9}^{x}}-2\left( x+5 \right){{.3}^{x}}+9\left( 2x+1 \right)\ge 0$ là $S=\left[ a;b \right]\cup \left[ c;+\infty \right).$ Khi đó $a-2b+c$ bằng:
A. 0.
B. 4.
C. 3.
D. 1.
A. 0.
B. 4.
C. 3.
D. 1.
Phương pháp:
- Phân tích VT thành nhân tử và giải bất phương trình tích.
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm nghiệm của bất phương trình.
Cách giải:
Ta có:
$\begin{aligned}
& {{9}^{x}}-2\left( x+5 \right){{3}^{x}}+9\left( 2x+1 \right)\ge 0 \\
& \Leftrightarrow {{9}^{x}}-{{9.3}^{x}}-\left( 2x+1 \right){{3}^{x}}+9\left( 2x+1 \right)\ge 0 \\
& \Leftrightarrow {{3}^{x}}\left( {{3}^{x}}-9 \right)-\left( 2x+1 \right)\left( {{3}^{x}}-9 \right)\ge 0 \\
& \Leftrightarrow \left( {{3}^{x}}-2x-1 \right)\left( {{3}^{x}}-9 \right)\ge 0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\ge 2x+1 \\
& {{3}^{x}}\ge 9 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\le 2x+1 \\
& {{3}^{x}}\le 9 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}-2x-1\ge 0 \\
& x\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}-2x-1\le 0 \\
& x\le 2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $y={{3}^{x}}-2x-1$ ta có $y'={{3}^{x}}\ln 3-2=0\Leftrightarrow {{3}^{x}}=\dfrac{2}{\ln 3}\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\dfrac{2}{\ln 3}={{x}_{0}}.$
BBT:
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\ge 2x+1 \\
& {{3}^{x}}\ge 9 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\le 2x+1 \\
& {{3}^{x}}\le 9 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}-2x-1\ge 0 \\
& x\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}-2x-1\le 0 \\
& x\le 2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Dựa vào BBT ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}-2x-1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\le 0 \\
& x\ge 1 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{3}^{x}}-2x-1\le 0\Leftrightarrow 0\le x\le 1 \\
\end{aligned} \right.. $ Khi đó $ \left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x\ge 1 \\
& x\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& x\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \left[ \begin{aligned}
& 0\le x\le 1 \\
& x\le 2 \\
\end{aligned} \right. \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 2 \\
& 0\le x\le 1 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[ 0;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right).$
Vậy $a=0;b=1;c=2\Rightarrow a-2b+c=0.$
- Phân tích VT thành nhân tử và giải bất phương trình tích.
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm nghiệm của bất phương trình.
Cách giải:
Ta có:
$\begin{aligned}
& {{9}^{x}}-2\left( x+5 \right){{3}^{x}}+9\left( 2x+1 \right)\ge 0 \\
& \Leftrightarrow {{9}^{x}}-{{9.3}^{x}}-\left( 2x+1 \right){{3}^{x}}+9\left( 2x+1 \right)\ge 0 \\
& \Leftrightarrow {{3}^{x}}\left( {{3}^{x}}-9 \right)-\left( 2x+1 \right)\left( {{3}^{x}}-9 \right)\ge 0 \\
& \Leftrightarrow \left( {{3}^{x}}-2x-1 \right)\left( {{3}^{x}}-9 \right)\ge 0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\ge 2x+1 \\
& {{3}^{x}}\ge 9 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\le 2x+1 \\
& {{3}^{x}}\le 9 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}-2x-1\ge 0 \\
& x\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}-2x-1\le 0 \\
& x\le 2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $y={{3}^{x}}-2x-1$ ta có $y'={{3}^{x}}\ln 3-2=0\Leftrightarrow {{3}^{x}}=\dfrac{2}{\ln 3}\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\dfrac{2}{\ln 3}={{x}_{0}}.$
BBT:
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\ge 2x+1 \\
& {{3}^{x}}\ge 9 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\le 2x+1 \\
& {{3}^{x}}\le 9 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}-2x-1\ge 0 \\
& x\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}-2x-1\le 0 \\
& x\le 2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Dựa vào BBT ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}-2x-1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\le 0 \\
& x\ge 1 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{3}^{x}}-2x-1\le 0\Leftrightarrow 0\le x\le 1 \\
\end{aligned} \right.. $ Khi đó $ \left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x\ge 1 \\
& x\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& x\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \left[ \begin{aligned}
& 0\le x\le 1 \\
& x\le 2 \\
\end{aligned} \right. \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 2 \\
& 0\le x\le 1 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[ 0;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right).$
Vậy $a=0;b=1;c=2\Rightarrow a-2b+c=0.$
Đáp án A.