Tập nghiệm của bất phương trình ${{9}^{\log _{9}^{2}x}}+{{x}^{{{\log }_{9}}x}}\le 18$ là:

Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của bất phương trình.
- Biến đổi ${{9}^{\log _{9}^{2}x}}={{9}^{{{\log }_{9}}x.{{\log }_{9}}x}}{{\left( {{9}^{{{\log }_{9}}x}} \right)}^{{{\log }_{9}}x}},$ sử dụng công thức ${{a}^{{{\log }_{a}}x}}=x.$
- Sử dụng phương pháp logarit hai vế của bất phương trình.
Cách giải:
ĐKXĐ: $x>0$
Ta có:
${{9}^{\log _{9}^{2}x}}+{{x}^{{{\log }_{9}}x}}\le 18$
$\Leftrightarrow {{9}^{{{\log }_{9}}x.{{\log }_{9}}x}}+{{x}^{{{\log }_{9}}x}}\le 18$
$\Leftrightarrow {{\left( {{9}^{{{\log }_{9}}x}} \right)}^{{{\log }_{9}}x}}+{{x}^{{{\log }_{9}}x}}\le 18$
$\Leftrightarrow {{x}^{{{\log }_{9}}x}}+{{x}^{{{\log }_{9}}x}}\le 18$
$\Leftrightarrow 2.{{x}^{{{\log }_{9}}x}}\le 18$
$\Leftrightarrow {{x}^{{{\log }_{9}}x}}\le 9$
Lấy logarit cơ số 9 cả 2 vế bất phương trình ta được:
${{\log }_{9}}\left( {{x}^{{{\log }_{9}}x}} \right)\le {{\log }_{9}}9$
$\Leftrightarrow {{\log }_{9}}x.{{\log }_{9}}x\le 1$
$\Leftrightarrow \log _{9}^{2}x\le 1$
$\Leftrightarrow -1\le {{\log }_{9}}x\le 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{9}\le x\le 9$
Kết hợp điều kiện xác định ta có $x\in \left[ \dfrac{1}{9};9 \right].$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left[ \dfrac{1}{9};9 \right].$