Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số...

Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-2mx-m+6$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ thì ${y}'\ge 0, \forall x\in \left( 0;4 \right)$ và dấu $''=''$ xảy ra tại hữu hạn điểm
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2mx-m+6\ge 0 \forall x\in \left( 0;4 \right)$
$\Leftrightarrow m\left( 2x+1 \right)\le 3{{x}^{2}}+6 \forall x\in \left( 0;4 \right)$
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{3{{x}^{2}}+6}{2x+1} \forall x\in \left( 0;4 \right);$ Đặt: $g\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}+6}{2x+1}$.
$\Leftrightarrow m\le \underset{x\in \left( 0;4 \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right);$ với $g\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}+6}{2x+1}$.
${g}'\left( x \right)=\dfrac{6x\left( 2x+1 \right)-2\left( 3{{x}^{2}}+6 \right)}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{6{{x}^{2}}+6x-12}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}};$ ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left( 0;4 \right) \\
& x=-2\notin \left( 0;4 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Có: $g\left( 0 \right)=6;g\left( 1 \right)=3;g\left( 4 \right)=6$ suy ra $\underset{x\in \left( 0;4 \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=3.$
Vậy $m\le 3.$