Google
Câu hỏi: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số ${m}$ để hàm số ${y = {x^3} - 3m{x^2} + 3x - 6{m^3}}$ đồng biến trên khoảng ${\left( {0; + \infty } \right)}$ là
A. ${\left[ {2; + \infty } \right)}$.
B. ${\left( { - \infty ;2} \right]}$.
C. ${\left( { - \infty ;0} \right]}$.
D. ${\left( { - \infty ;1} \right]}$.
A. ${\left[ {2; + \infty } \right)}$.
B. ${\left( { - \infty ;2} \right]}$.
C. ${\left( { - \infty ;0} \right]}$.
D. ${\left( { - \infty ;1} \right]}$.
$y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3x-6{{m}^{3}}\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-6mx+3$
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow 3{{x}^{2}}-6mx+3\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow 6mx\le 3{{x}^{2}}+3,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{x}^{2}}+1}{2x},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} \dfrac{{{x}^{2}}+1}{2x}$
Gọi $g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{2x}\Rightarrow g'\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}-2}{4{{x}^{2}}};g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left( 0;+\infty \right) \\
& x=-1\notin \left( 0;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
Vậy $m\in \left( -\infty ;1 \right]$
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow 3{{x}^{2}}-6mx+3\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow 6mx\le 3{{x}^{2}}+3,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{x}^{2}}+1}{2x},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} \dfrac{{{x}^{2}}+1}{2x}$
Gọi $g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{2x}\Rightarrow g'\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}-2}{4{{x}^{2}}};g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left( 0;+\infty \right) \\
& x=-1\notin \left( 0;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
Vậy $m\in \left( -\infty ;1 \right]$
Đáp án D.