Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=mx+\left( m+1 \right)\sqrt{x-2}$ nghịch biến trên $D=\left( 2;+\infty \right)$ là:

Phương pháp:
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;2 \right)$ khi và chỉ khi $f'\left( x \right)\le 0\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Cô lập $m,$ đưa bất phương trình về dạng $m\le g\left( x \right)\forall x\in \left( 0;2 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right).$
- Lập BBT hàm số $g\left( x \right).$
Cách giải:
Ta có: $y=mx+\left( m+1 \right)\sqrt{x-2}\Rightarrow y'=m+\dfrac{m+1}{2\sqrt{x-2}}=\dfrac{2m\sqrt{x-2}+m+1}{2\sqrt{x-2}}$
Để hàm số nghịch biến trên $D=\left( 2;+\infty \right)$ thì $y'\le 0\forall x\in \left( 2;+\infty \right).$
$\Rightarrow \dfrac{2m\sqrt{x-2}+m+1}{2\sqrt{x-2}}\le 0\forall x\in \left( 0;2 \right)$
$\Leftrightarrow m\left( 2\sqrt{x-2}+1 \right)\le -1\forall x\in \left( 0;2 \right)$
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{-1}{2\sqrt{x-2}+1}\forall x\in \left( 0;2 \right)$
Đặt $g\left( x \right)=\dfrac{-1}{2\sqrt{x-2}+1}$ ta có $m\le g\left( x \right)\forall x\in \left( 0;2 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right).$
Ta có $g'\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}}{{{\left( 2\sqrt{x-2}+1 \right)}^{2}}}>0\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right).$
Do đó $\underset{\left[ 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=-1.$
Vậy $m\le -1.$