Google
Câu hỏi: Số tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}$ là:
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:
- Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ được gọi là TCN của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} y={{y}_{0}};\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} y={{y}_{0}}$.
- Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\Rightarrow x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} y=+\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} y=-\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=+\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=-\infty $.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}$.
Ta có:
$\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=2$
$\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=-2$
$\underset{x\Rightarrow {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=+\infty $
$\underset{x\Rightarrow {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=-\infty $
$\underset{x\Rightarrow -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=+\infty $
$\underset{x\Rightarrow -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=-\infty $
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 TCN $y=\pm 1$ và 2 TCĐ $x=\pm 1$.
Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:
- Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ được gọi là TCN của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} y={{y}_{0}};\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} y={{y}_{0}}$.
- Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\Rightarrow x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} y=+\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} y=-\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=+\infty ;\underset{x\Rightarrow x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=-\infty $.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}$.
Ta có:
$\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=2$
$\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=-2$
$\underset{x\Rightarrow {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=+\infty $
$\underset{x\Rightarrow {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=-\infty $
$\underset{x\Rightarrow -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=+\infty $
$\underset{x\Rightarrow -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 2x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}-1}=-\infty $
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 TCN $y=\pm 1$ và 2 TCĐ $x=\pm 1$.
Đáp án C.