Google
Câu hỏi: Số thực ${m}$ nhỏ nhất để phương trình ${{8^x} + 3x{.4^x} + \left( {3{x^2} + 1} \right){2^x} = \left( {{m^3} - 1} \right){x^3} + \left( {m - 1} \right)x}$ có nghiệm dương là ${a + e\ln b}$ với ${a;b}$ là các số nguyên. Giá trị của biểu thức ${a + b}$ là
A. ${4}$.
B. ${3}$.
C. ${5}$.
D. ${7}$.
A. ${4}$.
B. ${3}$.
C. ${5}$.
D. ${7}$.
${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{2}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x$
$\Leftrightarrow {{\left( 2x \right)}^{3}}+3x.{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}+3{{x}^{2}}.\left( {{2}^{x}} \right)+{{2}^{x}}={{\left( mx \right)}^{3}}-{{x}^{3}}+mx-x$
$\Leftrightarrow \left[ {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{3}}+3x.{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}+3{{x}^{2}}.\left( {{2}^{x}} \right)+{{x}^{3}} \right]+{{2}^{x}}+x={{\left( mx \right)}^{3}}+mx$
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+x \right)}^{3}}+\left( {{2}^{x}}+x \right)={{\left( mx \right)}^{3}}+mx$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\Rightarrow f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\forall t$
Do đó hàm số luôn đồng biến vì vậy $f\left( {{2}^{x}}+x \right)=f\left( mx \right)\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x=mx\Leftrightarrow m=\dfrac{{{2}^{x}}+x}{x}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}+x}{x}\forall x>0$
$f'\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}.\ln 2.x-{{2}^{x}}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{2}^{x}}\left( x.\ln 2-1 \right)}{{{x}^{2}}}$
Xét $f'\left( x \right)=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{\ln 2}$ Ta có bảng biến thiên sau:
Do đó $m=1+e.\ln 2$ là giá trị cần tìm $\Rightarrow a=1;b=2\Rightarrow a+b=3.$
$\Leftrightarrow {{\left( 2x \right)}^{3}}+3x.{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}+3{{x}^{2}}.\left( {{2}^{x}} \right)+{{2}^{x}}={{\left( mx \right)}^{3}}-{{x}^{3}}+mx-x$
$\Leftrightarrow \left[ {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{3}}+3x.{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}+3{{x}^{2}}.\left( {{2}^{x}} \right)+{{x}^{3}} \right]+{{2}^{x}}+x={{\left( mx \right)}^{3}}+mx$
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+x \right)}^{3}}+\left( {{2}^{x}}+x \right)={{\left( mx \right)}^{3}}+mx$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\Rightarrow f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\forall t$
Do đó hàm số luôn đồng biến vì vậy $f\left( {{2}^{x}}+x \right)=f\left( mx \right)\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x=mx\Leftrightarrow m=\dfrac{{{2}^{x}}+x}{x}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}+x}{x}\forall x>0$
$f'\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x}}.\ln 2.x-{{2}^{x}}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{2}^{x}}\left( x.\ln 2-1 \right)}{{{x}^{2}}}$
Xét $f'\left( x \right)=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{\ln 2}$ Ta có bảng biến thiên sau:
Do đó $m=1+e.\ln 2$ là giá trị cần tìm $\Rightarrow a=1;b=2\Rightarrow a+b=3.$
Đáp án B.