Số nghiệm nguyên thuộc $\left[ -100; 100 \right]$ của bất...

+ Điều kiện xác định của bất phương trình là ${{3}^{x}}-1>0\Leftrightarrow x>0$ (*).
+ Ta có, ${{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-1 \right).{{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( \dfrac{{{3}^{x}}-1}{25} \right)\le -143\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)\left[ {{\log }_{5}}\left( \dfrac{25}{{{3}^{x}}-1} \right) \right]\le -143$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)\left[ 2-{{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-1 \right) \right]+143\le 0$ (1)
+ Đặt $t={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)$, bất phương trình (1) trở thành $t\left( 2-t \right)+143\le 0\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+2t+143\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t\le -11 \\
& t\ge 13 \\
\end{aligned} \right.$.
+ Với $t\le -11\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)\le -11\Rightarrow {{3}^{x}}-1\le {{5}^{-11}}\Rightarrow x<1$. Do $x$ nguyên thoả điều kiện $x>0$ nên trường hợp này không tồn tại giá trị $x$.
+ Với $t\ge 13\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)\ge 13\Rightarrow {{3}^{x}}-1\ge {{5}^{13}}\Rightarrow {{3}^{x}}\ge 1+{{5}^{13}}$. Do $x$ nguyên thoả điều kiện $x>0$ và $x\in \left[ -100; 100 \right]$ nên chọn $x\in \left\{ 20, 21, ..., 100 \right\}$. Vậy có $81$ số nguyên $x$ thoả mãn điều kiện.