Số nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ -99;100 \right]$ của bất phương trình ${{\left(\sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}\ge {{\left( \cos...

Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất $\sin \alpha =\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha \right)$.
- Giải bất phương trình mũ: ${{a}^{f\left( x \right)}}\ge {{a}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)\le g\left( x \right)khi0<a<1$.
- Giải bất phương trình đại số tìm x, sau đó kết hợp điều kiện đề bài.
Giải chi tiết:
Vì $\dfrac{\pi }{5}+\dfrac{3\pi }{10}=\dfrac{5\pi }{10}=\dfrac{\pi }{2}$ nên $\sin \dfrac{\pi }{5}=\cos \dfrac{3\pi }{10}$.
Khi đó ta có
${{\left( \sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}\ge {{\left( \cos \dfrac{3\pi }{10} \right)}^{\dfrac{4}{x}}}\Leftrightarrow {{\left( \sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}\ge {{\left( \sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{\dfrac{4}{x}}}\Leftrightarrow x\le \dfrac{4}{x}\left( do0<\sin \dfrac{\pi }{5}<1 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-4}{x}\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x\le -2 \\
0<x\le 2 \\
\end{array} \right.$
Kết hợp điều kiện $x\in \left[ -99;100 \right]$ ta có $x\in \left[ -99;-2 \right]\cup \left( 0;2 \right]$.
Vậy phương trình đã cho có 100 nghiệm nguyên thỏa mãn.