Số nghiệm nguyên thuộc đoạn $[-99;100]$ của bất phương trình ${{\left(\sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}\ge {{\left( \cos...

Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất $\sin \alpha =\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )$.
- Giải bất phương trình mũ: $a^{f\left(x\right)}\ge a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)\le g\left(x\right)khi0<a<1$.
- Giải bất phương trình đại số tìm x, sau đó kết hợp điều kiện đề bài.
Giải chi tiết:
Vì ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}+{\displaystyle \frac{3\pi }{10}}={\displaystyle \frac{5\pi }{10}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ nên $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}=\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{10}}$.
Khi đó ta có
${(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}})}^x\ge {(\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{10}})}^{{\displaystyle \frac{4}{x}}}\iff {(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}})}^x\ge {(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}})}^{{\displaystyle \frac{4}{x}}}\iff x\le {\displaystyle \frac{4}{x}}(do0<\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}<1)$
$\iff {\displaystyle \frac{x^2-4}{x}}\le 0\iff [\begin{array}{l}x\le -2\\ 0<x\le 2\end{array}$
Kết hợp điều kiện $x\in [-99;100]$ ta có $x\in [-99;-2]\cup (0;2]$.
Vậy phương trình đã cho có 100 nghiệm nguyên thỏa mãn.