Số nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ -20;20 \right]$ của bất phương...

Phương pháp:
Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.
Cách giải:
ĐKXĐ: ${{x}^{2}}+2x-3\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x\ge 1 \\
x\le -3 \\
\end{array} \right.$
Xét phương trình ${{2}^{2x+1}}-{{9.2}^{x}}+4\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\ge 0\left( * \right)$
Đặt $f(x)={{2}^{2x+1}}-{{9.2}^{x}}+4\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}$
$f'(x)=4\ln {{2.2}^{2x}}-9\ln {{2.2}^{x}}+\dfrac{4(x+1)}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}}$
Nhận xét:
+) $x=1:$ không thỏa mãn BPT (*)
+) Với $x\ge 2,$ ta có: $\dfrac{4(x+1)}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}}\ge 0,4\ln {{2.2}^{2x}}-9\ln {{2.2}^{x}}={{4.2}^{x}}\ln 2.\left( {{2}^{x}}-\dfrac{9}{4} \right)>0\Rightarrow f'(x)>0,\forall x\ge 2$
$\Rightarrow f(x)\ge f(2),\forall x\ge 2\Leftrightarrow f(x)\ge 4.\sqrt{5}-4>0,\forall x\ge 2$
$\Rightarrow \left( * \right)$ đúng với mọi $x\ge 2$
Mà $x\in \mathbb{Z},x\in [-20;20]\Rightarrow x\in \{2;3;\ldots ;20\}:19$ giá trị
+) $x=-3:$ không thỏa mãn BPT (*)
+) Với $x\le -4$, ta có: $\dfrac{\sqrt{4}(x+1)}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}}<0,4\ln {{2.2}^{2x}}-9\ln {{2.2}^{x}}={{4.2}^{x}}\ln 2.\left( {{2}^{x}}-\dfrac{9}{4} \right)<0\Rightarrow f'(x)<0,\forall x\le -4$
$\Rightarrow f(x)\ge f(-4),\forall x\le -4\Leftrightarrow f(x)\ge 4\sqrt{5}-\dfrac{71}{128}>0,\forall x\le -4$
$\Rightarrow \left( * \right)$ đúng với mọi $x\le -4$ Mà $x\in \mathbb{Z},x\in [-20;20]\Rightarrow x\in \{-20;-19;\ldots ;-4\}:17$ giá trị
Vậy, BPT đã cho có tất cả 36 nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ -20;20 \right].~$