Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{2}}\left(...

Điều kiện: $x\ge 0$.
${{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{16x+3} \right)+{{\left( \sqrt{x}-2 \right)}^{2}}+x\le 1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( 16x+3 \right)+2x-4\sqrt{x}+3\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right)+2\left( \left( x+\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{3}{4} \right)\le {{\log }_{2}}\left( {{\left( 2\sqrt{x} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right)+2\left( 2\sqrt{x}+\dfrac{3}{4} \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}\left( {{t}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right)+2\left( t+\dfrac{3}{4} \right)$ với $t\ge 0$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2t}{\left( {{t}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right)\ln 2}+2>0$, $\forall t\ge 0$
nên $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty \right)$.
Suy ra $\left( x+\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{3}{4}\le 2\sqrt{x}+\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow 2\sqrt{x}\ge x+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}-3x+\dfrac{1}{4}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0,1\approx \dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}\le x\le \dfrac{3+2\sqrt{2}}{2}\approx 2,9$
$x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{ 1;2 \right\}$.