Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+3}-{{x}^{2}} \right)\le \sqrt{{{x}^{2}}+3}-2x$ là:

Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ.
- Nhân liên hợp biểu thức trong loga ở Vế trái, sử dụng công thức ${{\log }_{a}}\dfrac{x}{y}={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y\left( 0<a\ne 1,x,y>0 \right)$ - Xét hàm đặc trưng.
- Giải bất phương trình chứa căn: $\sqrt{A}\ge B\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& B<0 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& B\ge 0 \\
& A\ge {{B}^{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right..$
Cách giải:
ĐKXĐ: $x\sqrt{{{x}^{2}}+3}-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}-x \right)>0.$
Ta có ${{x}^{2}}+3>{{x}^{2}}\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+3}>\left| x \right|>x\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+3}-x>0\Rightarrow x>0.$
Ta có:
${{\log }_{2}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+3}-{{x}^{2}} \right)\le \sqrt{{{x}^{2}}+3}-2x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x\dfrac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+x} \right)\le \sqrt{{{x}^{2}}+3}-2x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{3x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+x}\le \sqrt{{{x}^{2}}+3}-2x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}3x-{{\log }_{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right)\le \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x-3x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}3x+3x\le {{\log }_{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+3}+x$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0\forall t>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $3x\le \sqrt{{{x}^{2}}+3}+x\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+3}\ge 2x$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3\ge 4{{x}^{2}}$ (do $x>0)\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le 1\Leftrightarrow -1\le x\le 1.$
Kết hợp điều kiện $x>0\Rightarrow 0<x\le 1.$
Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm nguyên $x=1.$