Số nghiệm của phương trình ${{\left( \sin \dfrac{x}{2}+\cos...

Phương pháp:
Áp dụng phương pháp giải phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho
$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$, sau đó đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.
Cách giải:
${{\left( \sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}+\sqrt{3}\cos x=2$
⇔ $1+2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{x}{2}+\sqrt{3}\cos x~=2$
⇔ $\sin x+\sqrt{3}\cos x~=~1~$
⇔ $\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x~=\dfrac{1}{2}$
⇔ $\sin \left( \dfrac{\pi }{6} \right).\sin x+\cos \left( \dfrac{\pi }{6} \right).\cos x=\dfrac{1}{2}$
⇔ $\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)=\cos \dfrac{\pi }{3}$
⇔$\left[ \begin{aligned}
& x-\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\
& x-\dfrac{\pi }{6}=-\dfrac{\pi }{3}+l2\pi \\
\end{aligned} \right.$
⇔$\left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\
& x=-\dfrac{\pi }{6}+l2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k,l\in \mathbb{Z} \right)$
Mà $x\in \left[ 0;\pi \right]$, do đó $\left\{ \begin{aligned}
& 0\le \dfrac{\pi }{2}+k2\pi \le \pi \\
& 0\le -\dfrac{\pi }{6}+l2\pi \le \pi \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{1}{4}\le k\le \dfrac{1}{4} \\
& \dfrac{1}{12}\le l\le \dfrac{7}{12} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k=0 \\
& l\in \varnothing \\
\end{aligned} \right..$
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm $x=\dfrac{\pi }{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.