Số nghiệm của phương trình ${{e}^{\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)}}=\tan x$ trên đoạn $\left[ 0;2\pi \right]$ là:

Điều kiện: $\cos x\ne 0.$
Ta có ${{e}^{\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)}}=\tan x$
$\Leftrightarrow {{e}^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( \sin x-\cos x \right)}}=\dfrac{\sin x}{\cos x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{e}^{\dfrac{\sin x}{\sqrt{2}}}}}{\sin x}=\dfrac{{{e}^{\dfrac{\cos x}{\sqrt{2}}}}}{\cos x}\left( * \right)$
Vì ${{e}^{\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)}}>0$ nên $\tan x>0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sin x>0 \\
& \cos x>0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& \sin x<0 \\
& \cos x<0 \\
\end{aligned} \right..$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{e}^{\dfrac{t}{\sqrt{2}}}}}{t},$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{{{e}^{\dfrac{t}{2}}}\left( t\sqrt{2}-2 \right)}{2{{t}^{2}}}<0,\forall t\in \left( -1;0 \right)\cup \left( 0;1 \right).$
$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( \sin x \right)=f\left( \cos x \right)\Leftrightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Ta có $0\le x\le 2\pi \Leftrightarrow 0\le \dfrac{\pi }{4}+k\pi \le 2\pi \Rightarrow k=\left\{ 0;1 \right\}.$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.