Google
Câu hỏi: Số nghiệm của phương trình ${{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020}}=\ln \left( {{x}^{2}}-2 \right)+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x+2018$ là
A. $4$.
B. $2$
C. $0$.
D. $3$.
A. $4$.
B. $2$
C. $0$.
D. $3$.
${{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020}}=\ln \left( {{x}^{2}}-2 \right)+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x+2018\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020=\ln \left( {{x}^{2}}-2 \right)+{{x}^{2}}-2$
$\Leftrightarrow {{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020={{e}^{\ln \left( {{x}^{2}}-2 \right)}}+{{x}^{2}}-2\text{ }\left( 2 \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t,t\in \mathbb{R}$
Ta có $f'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}.$ Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020 \right)=f\left( \ln \left( {{x}^{2}}-2 \right) \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020=\ln \left( {{x}^{2}}-2 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x-2020-\ln \left( {{x}^{2}}-2 \right)=0\left( 3 \right)$
Xét hàm số:
$g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020-\ln \left( {{x}^{2}}-2 \right),\left[ \begin{aligned}
& x>\sqrt{2} \\
& x<-\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)=x+1-\dfrac{2x}{{{x}^{2}}-1}=\dfrac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-4x-2}{{{x}^{2}}-2}$
Xét $h\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-4x-2$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có:
$h\left( -3 \right)=-8;h\left( -2 \right)=2;h\left( -1 \right)=2;h\left( 0 \right)=-2;h\left( \sqrt{3} \right)=1-\sqrt{3};h\left( 2 \right)=2$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& h\left( -3 \right).h\left( -2 \right)<0 \\
& h\left( -1 \right).h\left( 0 \right)<0 \\
& h\left( \sqrt{3} \right).h\left( 2 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow h\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a\in \left( -3;-2 \right) \\
& x=b\in \left( -1;0 \right) \\
& x=c\in \left( \sqrt{3};2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\underset{x\Rightarrow {{\left( \sqrt{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow {{\left( \sqrt{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty $
Bảng biến thiên hàm số $g\left( x \right)$
Từ bảng biến thiên ta có:
Với $a\in \left( -3;-2 \right)$ suy ra $g\left( a \right)<g\left( -3 \right)=\dfrac{9}{2}-3-2020-\ln 7<0$
Với $c\in \left( \sqrt{3};2 \right)$ suy ra $g\left( c \right)<g\left( \sqrt{3} \right)=\dfrac{3}{2}+\sqrt{3}-2020<0$
Do đó phương trình $\left( 3 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow {{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020={{e}^{\ln \left( {{x}^{2}}-2 \right)}}+{{x}^{2}}-2\text{ }\left( 2 \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t,t\in \mathbb{R}$
Ta có $f'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}.$ Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020 \right)=f\left( \ln \left( {{x}^{2}}-2 \right) \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020=\ln \left( {{x}^{2}}-2 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-x-2020-\ln \left( {{x}^{2}}-2 \right)=0\left( 3 \right)$
Xét hàm số:
$g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x-2020-\ln \left( {{x}^{2}}-2 \right),\left[ \begin{aligned}
& x>\sqrt{2} \\
& x<-\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)=x+1-\dfrac{2x}{{{x}^{2}}-1}=\dfrac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-4x-2}{{{x}^{2}}-2}$
Xét $h\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-4x-2$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có:
$h\left( -3 \right)=-8;h\left( -2 \right)=2;h\left( -1 \right)=2;h\left( 0 \right)=-2;h\left( \sqrt{3} \right)=1-\sqrt{3};h\left( 2 \right)=2$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& h\left( -3 \right).h\left( -2 \right)<0 \\
& h\left( -1 \right).h\left( 0 \right)<0 \\
& h\left( \sqrt{3} \right).h\left( 2 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow h\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a\in \left( -3;-2 \right) \\
& x=b\in \left( -1;0 \right) \\
& x=c\in \left( \sqrt{3};2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\underset{x\Rightarrow {{\left( \sqrt{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow {{\left( \sqrt{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty $
Bảng biến thiên hàm số $g\left( x \right)$
Với $a\in \left( -3;-2 \right)$ suy ra $g\left( a \right)<g\left( -3 \right)=\dfrac{9}{2}-3-2020-\ln 7<0$
Với $c\in \left( \sqrt{3};2 \right)$ suy ra $g\left( c \right)<g\left( \sqrt{3} \right)=\dfrac{3}{2}+\sqrt{3}-2020<0$
Do đó phương trình $\left( 3 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt.
Đáp án A.