Số nghiệm của phương trình ${\displaystyle \frac{\sin 2x}{\cos x+1}}=0$ trên đoạn $[0;2020\pi ]$ là

Điều kiện: $\cos x+1\ne 0\iff x\ne \pi +l2\pi (l\in \mathbb{Z})$.
Ta có:
${\displaystyle \frac{\sin 2x}{\cos x+1}}=0\iff \sin 2x=0\iff 2x=k\pi (k\in \mathbb{Z})\iff x=k{\displaystyle \frac{\pi }{2}}(k\in \mathbb{Z})\iff [\begin{array}{rl}& x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+m\pi (m\in \mathbb{Z})\\ & x=n2\pi (n\in \mathbb{Z})\\ & x=\pi +p2\pi (p\in \mathbb{Z})\end{array}$
So lại với điều kiện, phương trình có họ nghiệm là $[\begin{array}{rl}& x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+m\pi (m\in \mathbb{Z})\\ & x=n2\pi (n\in \mathbb{Z})\end{array}.$
Xét $0\le {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+m\pi \le 2020\pi \iff -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\le m\pi \le {\displaystyle \frac{4039}{2}}\pi \iff -{\displaystyle \frac{1}{2}}\le m\le {\displaystyle \frac{4039}{2}}.$ Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên có 2002 giá trị $m$ thỏa mãn đề bài.
Xét $0\le n2\pi \le 2020\pi \iff 0\le n\pi \le 1010.$ Vì $n\in \mathbb{Z}$ nên có 1011 giá trị $n$ thỏa mãn đề bài.
Vậy phương trình có tổng cộng 3031 nghiệm trên đoạn $[0;2020\pi ].$