Số nghiệm của phương trình $\dfrac{\sin 2x}{\cos x+1}=0$ trên đoạn $\left[ 0;2020\pi \right]$ là

Điều kiện: $\cos x+1\ne 0\Leftrightarrow x\ne \pi +l2\pi \left( l\in \mathbb{Z} \right)$.
Ta có:
$\dfrac{\sin 2x}{\cos x+1}=0\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow x=k\dfrac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\pi }{2}+m\pi \left( m\in \mathbb{Z} \right) \\
& x=n2\pi \left( n\in \mathbb{Z} \right) \\
& x=\pi +p2\pi \left( p\in \mathbb{Z} \right) \\
\end{aligned} \right.$
So lại với điều kiện, phương trình có họ nghiệm là $\left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\pi }{2}+m\pi \left( m\in \mathbb{Z} \right) \\
& x=n2\pi \left( n\in \mathbb{Z} \right) \\
\end{aligned} \right..$
Xét $0\le \dfrac{\pi }{2}+m\pi \le 2020\pi \Leftrightarrow -\dfrac{\pi }{2}\le m\pi \le \dfrac{4039}{2}\pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le m\le \dfrac{4039}{2}.$ Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên có 2002 giá trị $m$ thỏa mãn đề bài.
Xét $0\le n2\pi \le 2020\pi \Leftrightarrow 0\le n\pi \le 1010.$ Vì $n\in \mathbb{Z}$ nên có 1011 giá trị $n$ thỏa mãn đề bài.
Vậy phương trình có tổng cộng 3031 nghiệm trên đoạn $\left[ 0;2020\pi \right].$