Số nghiệm của phương trình $\cos \left( x-\dfrac{\pi }{3}...

Phương pháp:
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\cos f\left( x \right)=\cos g\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=\pm g\left( x \right)+k2\pi (k\in \mathbb{Z}~).~$
- Cho các họ nghiệm vừa tìm được thuộc $\left( -\pi ;\pi \right)$, sau đó tìm ra các nghiệm thỏa mãn.
Cách giải:
TXĐ: D = $\mathbb{R}$

$\begin{aligned}

& \cos \left( x-\dfrac{\pi }{3} \right)=\cos \left( 2x+\dfrac{\pi }{6} \right) \\

& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& 2x+\dfrac{\pi }{6}=x-\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\

& 2x+\dfrac{\pi }{6}=x+\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\

\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\

\end{aligned}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\

& x=\dfrac{\pi }{18}+\dfrac{k2\pi }{3} \\

\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Xét họ nghiệm $x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$, cho $x\in \left( -\pi ;\pi \right).~$

$\begin{aligned}

& \Rightarrow -\pi <-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi <\pi \\

& \Leftrightarrow -1<-\dfrac{1}{2}+2k<1 \\

& \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}<k<\dfrac{3}{4} \\

\end{aligned}$

Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=~0\Rightarrow x=-\dfrac{\pi }{2}.~$

Xét họ nghiệm $x=\dfrac{\pi }{18}+\dfrac{k2\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right),cho x\in \left( -\pi ;\pi \right)$

$\begin{aligned}

& \Rightarrow -\pi <\dfrac{\pi }{18}+\dfrac{k2\pi }{3}<\pi \\

& \Leftrightarrow -1<\dfrac{1}{18}+\dfrac{2k}{3}<1 \\

& \Leftrightarrow -\dfrac{19}{12}<k<\dfrac{17}{12} \\

\end{aligned}$

Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \left\{ -~1;0;1 \right\}\Rightarrow x\in \left\{ -\dfrac{11\pi }{18};\dfrac{\pi }{18};\dfrac{13\pi }{18} \right\}$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm thuộc $\left( -\pi ;\pi \right)$.